Теорема 3.4. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке М (x, y), она должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем полное приращение функции
.
В правой части прибавим и вычтем , получим
.
По теореме Лагранжа о конечном приращении
, где ,
, где .
Тогда
.
Так как частные производные по условию теоремы непрерывны, то
, .
Используя теорему 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции, запишем
, ,
где - бесконечно малые функции при .
Учитывая эти выражения, получим
или
.
В соответствии с определением дифференцируемости функции это означает, что функция является дифференцируемой.
Следствие. Для того, чтобы установить дифференцируемость функции, нужно проверить непрерывность частных производных.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление