Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Градиент функции, его свойства




Градиентом функции называется вектор

,

где - единичные векторы координатного базиса в прямоугольной декартовой системе координат.

Кратко можно записать . Здесь Ñ - знак набла.

Пример 3.22. Найти градиент функции в точке .

.

 

.

Теорема 3.5. Производная функции по направлению вектора равняется проекции градиента этой функции на это направление, т. е.

.

Известно, что проекция некоторого вектора на направление вектора равняется

.

Здесь j - угол между векторами и , - скалярное произведение векторов, - единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Найдем

.

Свойство 1. Производная функции по направлению вектора достигает своего наибольшего значения, если направление вектора совпадает с направлением градиента этой функции.

Действительно, производную данной функции по направлению вектора можно записать следующим образом , где j - угол между градиентом и вектором . Если этот угол равен нулю j = 0, то косинус этого угла и производная функции принимают наибольшие значения, cos0 = 1, .

Свойство 2. Производная функции по направлению вектора равняется нулю, если направление вектора перпендикулярно направлению градиента этой функции.

Действительно, .

Данные свойства используются при решении задач оптимизации (нахождения наибольшего, наименьшего значений функций) с помощью численных методов. Градиент функции определяет направление наибольшего изменения функции. Направление перпендикулярное градиенту определяет направление, в котором функция не изменяется.

Известно, что на поверхности уровня функция не изменяется. Следовательно, градиент функции перпендикулярен поверхности уровня. Это обстоятельство можно использовать для написания уравнения касательной плоскости к поверхности . Пусть точка принадлежит поверхности. Найдем градиент функции в этой точке и напишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Получаем уравнение касательной плоскости

.

Пример 3.23. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду

в точке .

Находим ,, ; , , .

Записываем уравнение касательной плоскости

Û .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 17039; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.