Вычитание множеств

Пусть даны произвольные множества А и В.

Определение: Разностью двух множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

А\В = {x| xA, xB}

Покажем на диаграмме разность множеств А и В. Пусть:

1) множества А и В не вступают в отношение друг с другом.

Очевидно, что в этом случае А\В = А, а В\А = В.

				B

2) множества А и В находятся в отношении равенства.

Тогда А\В = В\А = Ø.

3) множества А и В находятся в отношении включения.

Если АВ, то А\В = Ø. Если ВА, то А\В Ø

4) множества А и В находятся в отношении пересечения.

Штриховкой показано множество элементов, принадлежащих А\В.

Примеры:

1) Пусть А = {3; а; b }, B = {1; 3; 7}. Найдем А\В.

По определению разности двух множеств А\В = { a;b }, так как только эти элементы множеству А принадлежат, а множеству В - нет.

2) A = N, B = Z.

Так как NZ, (т.е. AB), то А\В=N\ Z = Ø, а Z \N – это множество целых отрицательных чисел или нуль.

Замечание: Если множество В является подмножеством множества А, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А и обозначается В.

ВА А\В= В

Если А – это универсальное множество (J), то разность J \В= В. При этом не указывается до какого множества.

Примеры:

1) Пусть А = {3; а; b }, B = {1; 3; 7}. Если возможно, найдите дополнение множества В до А или А до В.

Так как АВ и ВА, то говорить о дополнения одного множества до другого не имеет смысла.

2) A = N, B = Z.

Так как NZ, (т.е. AB), то В\А= Z \N=N – это множество целых отрицательных чисел или нуль.

Замечание: Для задания множества действительных чисел используют специальные обозначения: числовые промежутки. Так, например,

[a; b] = { x|xR, a x b}

[a; b) = { x|xR, a x <b}

(a; b] = { x|xR, a< x b}

(a; b) = { x|xR, a< x <b}

Указанные промежутки – это подмножества действительных чисел.

Дата добавления: 2014-01-11