Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства определенного интеграла. Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, т




Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем определение определенного интеграла и свойства пределов

.

Свойство 2. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так же используем определение определенного интеграла и свойства пределов

=

.

Свойство 3. При перестановке пределов интегрирования интеграл изменяет знак, т. е.

.

Для доказательства используем формулу Ньютона-Лейбница.

 

.

Свойство 4. Любой определенный интеграл можно разбить на сумму двух интегралов, если подынтегральная функция непрерывна в пределах интегрирования, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

.

Свойство 5. Если для любого х на отрезке , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По геометрическому смыслу определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху кривой на отрезке , включает в свой состав криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой . Поэтому в таком же соотношении находятся определенные интегралы.

Свойство 6. Если m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то по предыдущему свойству

.

Свойство 7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такая точка , принадлежащая , что

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего m и наибольшего М значений. Поэтому

.

Поделим это равенство на b - a, получим .

Функция непрерывная на принимает любое значение между наименьшим m и наибольшим М значениями и, следовательно, в некоторой точке принимает значения, равное . Откуда получаем .

  Рис. 60 Геометрически это означает, что для любой криволинейной трапеции на отрезке , ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции, найдется равновеликий прямоугольник высота которого заключена между наименьшим m и наибольшим М значениями функции (рис. 60).



Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 471; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.