Основные свойства декартова произведения

1. Если , то . То есть декартово произведение множеств не обладает свойством коммутативности.

Действительно, по определению если то , а . Но так как , то . Отсюда .

2. Декартово произведение множеств не обладает свойством ассоциативности: для любых множеств .

3. Если хотя бы одно из множеств А или В пусто, то и декартово произведение этих множеств есть множество пустое:

Ø= Ø Ø Ø = Ø.

Это свойство следует из понятия декартова произведения и понятия пустого множества.

4. Для любых трех множеств справедливы следующие утверждения:

4.1.

4.2.

4.3.

Докажем, например, свойство 4.3.

Обозначим множество , а множество . Покажем, что .

Пусть , тогда по определению декартова произведения множеств . По определению разности двух множеств получим: . Так как , то пара . Из того, что следует, что пара . Тогда по определению разности двух множеств пара . В силу доказанного и произвольности выбора элемента во множестве можно сделать вывод о том, что

Докажем, что .

Пусть . Тогда по определению разности двух множеств , и . По определению декартова произведения двух множеств . Так как , то . Тогда будем иметь , откуда следует, что . В силу доказанного и произвольности выбора элемента во множестве можно сделать вывод о том, что .

Так как и , то , что и требовалось доказать.

Теорема: Число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств А и В равно произведению чисел элементов в каждом из них:

.

РАЗДЕЛ II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Дата добавления: 2014-01-11