Лекция № 10. Понятия и их определения

И ИХ СТРУКТУРА

Й семестр

РАЗДЕЛ III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Контрольные вопросы:

1. Определяемые и неопределяемые понятия. Объем и содержание поня­тия, отношения между понятиями.

2. Способы определения понятий.

3. Структура определения через род и видовое отличие.

4. Основные требования к определениям понятий.

5. Связь с начальным курсом математики.

Литература: (1) гл. I, §§ 5, 6 пп.23-28; (2) гл. I, § 2, с. 46-50, 89-92, 94-97, 99-103; (3) гл. I, § 3 пп.17,24, 25-27; (4) гл. II, с. 75-82; (5) гл. II, §§ 2.3, 2.4, 2.7, 2.8.

Всякий математический объект обладает свойствами: существенными и несущественными. Свойство называется существенным, если оно принадлежит данному объекту и без него он существовать не может, несущественным, если его отсутствие у данного объекта никак не влияет на его существование.

Например, треугольник обладает следующими свойствами:

1) имеет три стороны;

2) имеет три вершины;

3) имеет три угла;

4) один из углов равен 90;

5) две его боковые стороны равны;

6) медиана перпендикулярна стороне треугольника;

7) одна из сторон горизонтальна.

Свойства 1-3 являются существенными для треугольника, нарушение хотя бы одного из них приводит к исчезновению объекта (треугольника). Остальные свойства не являются существенными для треугольника, однако свойство 4 станет существенным для прямоугольного треугольника; свойство 5 является существенным для равнобедренного треугольника; свойство 6 – для равностороннего; свойство 7 никогда не будет существенным.

Чтобы понять, что представляет собой данный объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об объекте. Понятие – это целостная совокупность суждений о существенных свойствах объекта.

Понятия условились обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c и т.д. Всякое понятие характеризуется своим объемом и содержанием.

Определение: Объем понятия «a» - это множество A всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Пример:

1. Пусть понятие «а» - хвойное дерево. Тогда объем этого понятия А = {ель, сосна, кедр,..., лиственница}.

2. Пусть понятие «b» - однозначное число. Тогда объем понятия «b» будет В = {1,2,3.4,5,6,7,8,9}.

Определение: Содержание понятия – это множество всех существенных свойств, которыми обладает это понятие.

Пример:

1. Пусть понятие «а» - биссектриса угла. Содержание этого понятия будут составлять существенные свойства:

- быть лучом;

- исходить из вершины угла;

- делить угол пополам.

2. Понятие «b» – существительное. Содержание понятия «b»:

- быть частью речи;

- обозначать предмет;

- отвечать на вопросы «кто?», «что?».

Объем и содержание понятия связаны между собой: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание и наоборот. Например, в объем понятия «треугольник» входят все возможные треугольники, а в объем понятия «равнобедренный треугольник» - толькоте, у которых две стороны равны. Ясно, что объем понятия «треугольник» шире, чем объем понятия «равнобедренный треугольник». А вот содержание последнего наоборот шире, так как равнобедренный треугольник обладает всеми существенными свойствами треугольника, поскольку он треугольник, да еще и такими существенными свойствами, которые для понятия «треугольник» не являются существенными, например, иметь две равные боковые стороны; два угла при основании равны; медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.

Дата добавления: 2014-01-11