Обращение предиката в высказывание

Определение: Предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке вместо переменных их значений, называется высказывательной формой или предикатом.

В зависимости от числа переменных предикаты бывают одноместными, двухместными и т.д. n –местные.

Обозначаются: А(х) – одноместный

В(х,y) – двухместный и т.д.

…

D(x_1, x_2, x_3, … х_n)

С каждым предикатом связывают три множества:

1) область определения предиката: D_{A(x) –} это множество значений переменной, при которых предикат обращается в высказывание.

2) множество истинности предиката Т_А(х) – это множество тех значений переменных из области определения предиката, при котором предикат обращается в истинное высказывание.

3) множество ложности предиката: - это множество тех значений переменной, при котором предикат обращается в ложное высказывание.

Между этими множествами существует вполне определённая связь:

Множества истинности и множества ложности предиката дополняют друг друга до области определения предиката.

Пример 1. На множестве R задано предложение Х² – 1 = 0. Является ли оно предикатом? Какова область определения? Множество истинности?

1) Х² – 1 = 0 – это предложение с переменной.

2) при Х = 1, 1² – 1 = 0 – это предложение обращается в

высказывание.

это одноместный предикат: А(х): Х² – 1 = 0

D_A =R.

Т_А =

Видим, что все отношения выполняются: .

Пример 2: Дано предложение: при x = -1 выполняется равенство x + 1 = 0.

1) – это предложение с переменной, но оно является истинным высказыванием, а не предикатом.

Пример 3: С(х,у): x + y = 7,

1) предложение с двумя переменными х и y

2) обращается в высказывание, например, при x = 3 y = 5

С (3,5): 3 + 5 = 7 – высказывание (не важно сейчас какое).

D_c – это множество пар действительных чисел:

D_с =

, т.е. множество таких пар действительных чисел, для которых верно: x + y = 7.

Если подставлять значение только одной переменной, то предикат станет одноместным предикатом.

Пусть x = 10 тогда - это одноместный предикат.

Предикат можно обратить в высказывание двумя способами:

1 способ: путём подстановки в предикат конкретного значения переменной (переменных)

и пусть , где тогда - высказывание.

2 способ: путём навешивания кванторов.

Кванторы бывают двух видов:

1) квантор всеобщности, который выражается словами: любой, каждый, всякий, все, и обозначается: .

2) квантор существования: выражается словами: найдётся, существует, и обозначается .

Пусть на множестве Х задан одноместный предикат А(х). Предложение: для любого Х из множества Х выполняется А(х) – это высказывание, которое ложно, если найдется хотя бы одно значение переменной x Х, при котором А(х) обращается в ложное высказывание. Если таких значений переменной нет, то это предложение – истинное высказывание. Запишем это высказывание так: .

Предложение: существуют элементы x Х такие, что выполняется А(х) – высказывание, которое истинно, если существует хотя одно бы одно значение переменной из множества Х, при котором А(х) – истинное высказывание. Если таких значений нет, то это предложение ложное высказывание.

Запишем это высказывание так: .

Пусть - одноместный предикат. Навесим на него кванторы:

1) - высказывание. Определим его значение истинности.

Пусть x = 0. А(0): 0²- 1>0 – ложь - ложное высказывание.

2) - высказывание. Определим его значение истинности.

Пусть х = 2 . Тогда А (2): 2² - 1 > 0 – «И»

- истинное высказывание.

Дата добавления: 2014-01-11