Отношение логического следования и равносильности на множестве предложений

Пусть А(х) и В(х) заданы на множестве Х и пусть их импликация А(х) В(х) – истинн а для т.е. истинно высказывание . В этом случае говорят, что В(х) логически следует из А(х).

Известно, что . Из определения логического следования предикатов следует, что , т.е. . Тогда .

Очевидно, это возможно, если .

Таким образом, В(х) логически следует из А(х).

Пример: На множестве N заданы предикаты А(х): натуральное число и

В(х): натуральное число .

Очевидно, что .

Построим импликацию:

.

Эта импликация истинна на всей области определения, т.е. - истинное высказывание. Значит, делимость натурального числа на 2 логически следует из его делимости на 4.

Если В(х) логически следует из А(х), то В(х) – необходимое условие для А(х), А(х)- достаточное. условие для В(х).

Допускают и другие фразеологии:

Из предиката А(х) логически следует предикат В(х), А(х) достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое условие для А(х).

Тогда если высказывание: - истинно, то его можно прочесть так:

1) Из А(х) логически следует В(х);

2) Для того, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х достаточно, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х

3) Для того, чтобы выполнялось А(х) на множестве Х необходимо, чтобы выполнялось В(х) на множестве Х.

В нашем примере импликация истинна. Тогда ее можно прочитать так:

1) Из того, что логически следует, что .

2) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 2 достаточно, чтобы оно делилось на 4.

3) Для того, чтобы натуральное число x делилось на 4 необходимо, чтобы оно делилось на 2.

Иногда говорят кратко: делимость на 2 – необходимое условие делимости на 4.

Замечание: Если импликация истинна на всей области определения, т.е. истинно высказывание , то также говорят, что предикат В(х) вступил в отношения логического следствия с предикатом А(х).

Пусть предикат А(х) и предикат В(х) заданы на множестве Х и пусть их эквиваленцияистинна на всей области определения, т.е. истинно высказывание .

Это значит, что .

В этом случае говорят, что предикаты А(х) и В(х) равносильны на множестве Х. Это возможно только в том случае, когда т.е. .

Если , то это значит, что «и»

Если , то это значит, что - «и»

т.е. предикаты А(х) и В(х) логически следуют друг из друга на множестве Х.

Для понятия равносильности предикатов используют знак ~: ~

Если предикаты равносильны, то в этом случае говорят, что они являются, необходимым и достаточным условием друг для друга.

Например: На множестве N заданы предикаты А(х): и В(х): десятичная запись натурального числа x оканчивается цифрой 0. Тогда

Другими словами, эквиваленция:

.

Следовательно, предикаты А(х) и В(х) равносильные предикаты. Это значит:

Дата добавления: 2014-01-11