Длина вектора. Угол между векторами

Евклидовом пространстве

Свойства скалярного произведения в

а) (q, x) = (0× x, x) = 0(x, x) = 0;

б) (x, a y) = (a y, x) = a(y, x) = a(x, y);

в) (x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z);

г) .

Последнее свойство говорит о том, что для того чтобы задать скалярное произведение в пространстве V достаточно задать скалярное произведение базисных векторов: g _ij = (e_i, e_j). При этом g _ij = g _ji. Элементы g _ij образуют матрицу, называемую матрицей Грамма. Матрица Грамма в евклидовом пространстве симметрична.

а) Неравенство Коши-Буняковского (x, y)² £ (x, x)×(y, y).

◀ (a x – y, a x – y) = a²(x, x) – 2a(x, y) + (x, y) ³ 0, т.к. квадратный трехчлен относительно a сохраняет знак, то D £ 0 Þ 4(x, y)² – 4(x, x)(y, y) £ 0, (x, y)² £ (x, x)(y, y). ▶

Отметим, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается, если $a такое, что a x = y, т.е. когда х и у коллинеарны.

Частные случаи неравенства Коши-Буняковского:

а) , б) .

Длиной вектора х назовем величину | x | =. (Неравенство Коши-Буняковского тогда запишется так: |(x, y)|² £ | x |²×| y |²).

Расстоянием между двумя векторами х и у назовем величину

.

б) Неравенство треугольника: | x + y | £ | x | + | y |.

◀ | x + y |² = (x + y, x + y) = (x, x)² + 2(x, y) + (y, y)² = | x |² + 2(x, y) + + | y |² £ | x |² + 2| x |×| y | + | y |² = (| x | + | y |)². ▶

Углом между векторами х и у назовем угол jÎ[0, p] такой, что .

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что | cosj | £ 1.

Дата добавления: 2014-01-11