Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ортогональные системы векторов. Def: Векторы x, yÎV называются ортогональными, если (х, у) = 0

 

Def: Векторы x, y Î V называются ортогональными, если (х, у) = 0.

. Если " y Î V, (x, y) = 0 Þ x = q.

◀ Т.к. (x, y) = 0 " y, положим у = х. Тогда (x, х) = 0 Þ x = q. ▶

Система векторов называется ортогональной, если (fi, fj) = 0 для i ¹ j (отметим, что (fi, fi) = | fi |2).

Система векторов называется ортонормированной, если.

. Ортонормированная система векторов – линейно независима.

– ортонормированна. Пусть a1 e 1 + a2 e 2 + …+ a nen = q. Умножим обе части равенства скалярно на ej и получим: в левой части , а в правой части (q, ej) = 0, т.е. a j = 0. Равенство a j = 0 для любого j означает линейную независимость ортогональной системы векторов. ▶

. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов есть сумма произведений одноименных координат.

– ортонормированный базис . Тогда

. ▶

Следствие. В ортонормированном базисе

. В любом (конечномерном) евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

◀ Пусть f 1, f 2, …, fn базис в V. Покажем, что по указанному базису можно построить ортогональный базис (этот процесс называют процессом ортогонализации).

а) e 1 = f 1;

б) e 2 = f 2 + a e 1 и a найдем из условия (e 1, f 1) = 0,

0 = (e 1, e 2) = (e 1, f 2) + a(e 1, e 2) Þ a = ;

в) e 3 = f 3 + a e 1 + b e 2 и a, b найдем из условий (e 3, e 1) = (e 3, e 2) = 0,

0 = (e 1, e 3) = (f 3, e 1) + a(e 1, e 2) Þ a = ,

0 = (e 2, e 3) = (f 3, e 2) + b(e 2, e 2) Þ b = ;

………………

………………

г) . ▶

Нормируя векторы ортогонального базиса получим ортонормированный базис пространства, т.е.

. В каждом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Процесс построения ортонормированного базиса, примененный в предыдущей теореме называется процессом ортогонализации Штурма.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Длина вектора. Угол между векторами | Изоморфизм евклидовых пространств
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 343; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.