Метод представления определителя в виде суммы определителей

Вычислить определитель:.

Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей:

.

Теперь каждый из полученных определителей разложим в сумму двух определителей, воспользовавшись тем, что элементы вторых столбцов у них также представлены в виде сумм, и т.д. Проделав это, получим (n > 2), что строки полученных определителей будут такими: a_i, a_i, …_, a_i или b _1, b _2, …_,b_n . Строки 1^го типа пропорциональны, 2^го типа равны и, следовательно, все слагаемые равны нулю. Следовательно: D_n = 0 (" n > 2).

Для определителей такого же типа, но первого и второго порядков получим:

D ₁ = | a ₁ + b ₁ | = a ₁ + b ₁; D ₂ = =

= a ₁ b ₂ – a ₂ b ₂ + b ₁ a ₂ – a ₁ b ₁ = (a ₁ – a ₂) b ₂ + (a ₂ + a ₁) b ₁ = (a ₁ – a ₂)(b ₂ – b ₁).

Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.

Вычислить определитель n –го порядка: .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим рекурентное соотношение: D_n =.

Разложив определитель в правой части соотношения по первому столбцу, запишем новое рекурентное соотношение: D_n = 5 D_{n –1} – 6 D_{n –2}.

Представляя это соотношение в виде: D_n – 2 D_{n –1} = 3(D_{n –1} – 2 D_{n –2}) и вводя обозначение:

Т_n = D_n – 2 D_{n –1} получим: Т_n = 3 Т_{n –1} – 3² Т_{n –2} = … =3 ^n-2 T ₂=3ⁿ.

Аналогично, записав рекурентное соотношение в виде: D_n – 3 D_{n –1} = 2(D_{n –1} – 3 D_{n –2}) и обозначая: V_n = D_n – 3 D_{n –1} получим V_n = 2 V_{n= 1} = 2² V_{n –2}=…= 2 ⁿ.

т.е. D_n = 3 ^{n + 1} – 2 ^{n + 1}.

В общем случае, для рекуррентных соотношений типа: D_n = pD_{n – 1} + qD_{n – 2.}можно проделать следующее: пусть a и b корни уравнения x ² – px – q = 0, т.е. p = a + b,

q = –ab. Тогда D_n = a D_{n – 1} + b D_{n –1} – ab D _{n – 2}^; D_n – a D_{n -–1} = b(D_{n – 1} – a D_{n – 2}), т.е. S_{n =} b S_{n – 1} или D_n – b D_{n -–1} = a(D_{n – 1} – b D_{n – 2}), т.е. V_{n =} b V_{n – 1}.

Аналогично можно поступить и в более сложных рекуррентных соотношениях.

Дата добавления: 2014-01-11