КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Обратная матрица
Если для квадратной матрицы А существует матрица D, такая что DА = АD = Е, то матрица D называется матрицей обратной к матрице А и обозначается: D = A –1. 1°. Если A –1 существует, то она единственна. ◀ . ▶ 2°. (A –1)–1 = A. ◀ A = AE = A (A –1(A –1)–1) = (AA –1) (A –1)–1 = E (A –1)–1 = (A –1)–1. ▶ 3°. (AB)–1 = B –1 A –1. ◀ B –1 A –1 = B –1 A –1 E = B –1 A –1((AB)×(AB)–1(AB)) = B –1(A –1 A) B ×(AB)–1 = B –1 B (AB)–1 = (AB)–1. ▶ 4°. det(A –1) = (det A)–1. ◀ AA –1 = E Þ det AA –1 = det A ×det(A –1) = 1 Þ det(А –1) = . ▶ 5°. Чтобы квадратная матрица А имела обратную А –1 необходимо и достаточно, чтобы det A ¹ 0. Если det A ¹ 0, то матрица А называется невырожденной. ◀ Необходимость. $ А –1 Þ det(A –1) = Þ det A ¹ 0. Достаточность. Возьмем матицу D с элементами Þ (DA) ij = . ▶ Доказательство теоремы одновременно дало и способ построения матрицы, обратной к невырожденной матрице А. Чтобы построить матрицу обратную к А, надо: найдем det A. Если det A = 0, то А –1 не существует. Если det A ¹ 0, то продолжаем построение обратной матрицы; для элементов aij матрицы А найдем их алгебраические дополнения Aij; разделим матрицу из алгебраических дополнений на det A; транспонировав полученную матрицу, получим матрицу А –1. Пример: : 1. det A = 2. 2. А –1 =. В идеологии обратной матрицы решение квадратных систем с невырожденной матрицей становится весьма прозрачным: Ax = b Þ A –1 Ax = A–1 b Þ x = A –1 b. Есть и другие способы нахождения обратной матрицы. А. Запишем матрицу А, а справа от нее, через вертикальную черту, запишем единичную матрицу. Получим матрицу n – строк, 2 n – столбцов; В получившейся матрице с помощью применения к строкам (и только) преобразований не изменяющих ранг матрицы образуем на месте матрицы А – единичную матрицу.
На месте единичной матрицы будет стоять А –1. Б. Справа от матрицы припишем единичную матрицу Е, а снизу припишем матрицу (– Е). В правом нижнем углу поставим нулевую матрицу. Используя операции только над строками, получившейся матрицы, на месте матрицы (– Е), образуем нулевую матрицу. Тогда, в правом нижнем углу будет стоять А –1. В. Для обращения матрицы, имеющей блочную структуру, т.е. матрицы вида: , где А – квадратная матрица порядка n ´ n, а D – квадратная матрица q ´ q, справедливы следующие формулы: Первая формула Фробениуса (если det A ¹ 0): , где H = D – CA –1 B. Вторая формула Фробениуса (если det D ¹ 0): , где K = A – BD –1 C.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 399; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |