КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Экзаменационные задачи
ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА". Часть I
1. Образуют ли линейное пространство все функции вида , где и - произвольные числа? 2. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 3 при ? 3. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 0 при ? 4. В пространстве полиномов степени не выше 3, является ли подпространством совокупность полиномов у которых ? 5. Найти базис и размерность подпространства многочленов, степени не выше , удовлетворяющих условию: . 6. Найти базис и размерность подпространства полиномов, степени не выше и удовлетворяющих условию: . 7. Найти базис и размерность линейной оболочки, натянутой на векторы: . 8. Найти размерность линейного подпространства, порожденного векторами: . 9. Найти размерность и базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов: а) ; б) . 10. Найти координаты вектора в базисе . 11. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. 12. Найти координаты полинома в базисе линейного пространства полиномов степени не выше . 13. Найти координаты вектора в ортогональном базисе , если . 14. Являются ли векторы линейно независимыми или не являются? 15. Найти угол между векторами и , если . 16. Найти матрицу Грамма системы векторов , если . 17. Найти матрицу Грамма системы векторов , если . 18. Ортогонализовать следующие системы векторов, которые заданы своими координатами в стандартном ортонормированном базисе: а) ; б) ; в) . 19. В пространстве полиномов степени не выше 2, введено скалярное произведение: . В этом пространстве ортогонализовать систему векторов . 20. Ортогонализовать векторы , если . 21. Проверив, что билинейная форма определяет скалярное произведение, в этом скалярном произведении ортогонализовать системы векторов:
а) ; б) .
22. Ортогонализовать следующие системы векторов с указанными скалярными произведениями: а) , ; б) , ; в) , ; г) , . 23. Дополнить следующие системы векторов до ортонормированного базиса: а) ; б) ; в) .
24. Найти произведение матриц: а) ; б) . 25. Найти ранг матрицы: а) ; б) ; в) . 26. Найти ранг и базисный минор матрицы: а) ; б) . 27. Найти матрицу, обратную к заданной матрице: а) ; б) ; в) . 28. Вычислить , если: а) , б) , в) ; ; .
29. Решить матричные уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .
30. Сколько миноров k -го порядка содержат определитель порядка ?
31. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители: а) ; б) ; в) .
32. Вычислить определители а) ; б) ; в) . 33. Решить уравнения: а) ; б) . 34. Найти общее решение следующих однородных систем линейных уравнений: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 35. Решить систему по правилу Крамера: . 36. Решить следующие системы неоднородных уравнений: а) ; б) ; в) . 37. Подобрать так чтобы система уравнений имела решения: а) ; б) . 38. Будет ли линейным оператором в пространстве всех многочленов оператор дифференцирования ? 39. Доказать, что оператор в трехмерном пространстве, где - постоянный вектор, является линейным оператором. 40. Найти матрицу оператора в указанном базисе пространства полиномов степени не выше : а) ; б) . 41. Найти матрицу оператора в базисе . 42. Найти матрицу оператора в базисе . 43. Доказать, что оператор является линейным и отображает пространство (функций, интегрируемых на ) на пространство многочленов первой степени от и . Найти матрицу этого оператора в подпространстве, базисом которого является система векторов . 44. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) . 45. Дана матрица и полином . Найти собственные числа и собственные векторы оператора .
46. Найти матрицу билинейной формы в базисе . 47. Найти матрицу билинейной формы в базисе e 1(1,-1,1), e2(1,1,-1), e 3(1,-1,-1). 48. Найти матрицу билинейной формы в базисе e 1(1,-1,1), e2(1,1,-1), e 3(1,-1,-1).
49. Найти матрицу билинейной формы в базисе .
50. Определить число положительных и отрицательных канонических коэффициентов для квадратичной формы: .
51. Найти все значения параметра , при которых следующие квадратичные формы являются положительно определенными: а) ; б) ; в) ; г) . 52. Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду: а) ; б) ; в) ; г); д) ; е) ; ж) ; з) ; и) . 53. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на подпространство, порожденное системой векторов : а) ; б) ; в) . 54. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на подпространство , определяемое системой уравнений . 55. Найти проекцию вектора на подпространство с базисом , если скалярное произведение имеет вид: . 56. Найти проекцию вектора на подпространство с базисом , если скалярное произведение имеет вид: . 57. Найти угол между вектором и линейной оболочкой L: а) ; б) .
58. Найти угол между вектором и линейным подпространством, натянутым на векторы : а) ; б) ; в) ; г) . 59. Найти расстояние между вектором и линейной оболочкой векторов . 60. Найти расстояние между вектором и линейным подпространством, решений системы: . 61. Найти расстояние от вектора до гиперплоскости, заданной системой уравнений: . 62. Составить формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису . 63. В стандартном базисе найти матрицу оператора, переводящего векторы в векторы соответственно: а) ; б) .
64. Найти матрицу перехода от базиса к базису пространства многочленов степени не выше .
65. Каковы будут координаты векторов и , если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса по формулам: . 66. Линейный оператор в стандартном базисе задан матрицей . 67. Найти матрицу указанного линейного оператора в базисе .
68. Найти матрицу билинейной формы , заданной в стандартном базисе, в новом базисе : а) , ; б) , ; в) , .
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 431; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |