Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Введём новые переменные, пусть и , функции φ и ψ имеют в некоторой области плоскости Оuv непрерывные частные производные.

Функциональный определитель

- называется определителем Якоби или якобианом.

Если функция непрерывна в области D, а якобиан , то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле

.

Рассмотрим частный случай: замену декартовых координат х и у полярными координатами r и φ. Прямоугольные и полярные координаты связаны формулами

.

В качестве u и v возьмём полярные координаты r и φ. Составим Якобиан преобразования u=r, v=φ.

Формула замены переменных x, y в полярных координатах будет иметь вид

- область в полярной системе координат, соответствует области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу

Рис. 9

Если область (рис.9) ограниченна лучами φ=α и φ=β, где α<β и кривыми , , где , для любого , т.е. область -правильная: то двойной интеграл в полярной системе координат вычисляется по следующей формуле

Внутренний интеграл берётся при условии, что φ - константа.

Замечание:

1) переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область D - есть круг, кольцо или часть таковых;

2) на практике переход к полярным координатам осуществляется путём замены . Уравнения линий, ограничивающих область D, так же преобразуются к полярным координатам.

Пределы интегрирования по r и φ находят, совместив декартову и полярную системы координат.

Пример: Вычислить

D: (рис. 10)

Решение:

Переходим к полярным координатам

Область D в полярной системе координат:

Рис. 10

Подынтегральная функция в полярной системе координат:

Вычисляем интеграл

1.4 Приложения двойного интеграла

Объём тела

Объём цилиндрического тела находится по формуле

,

где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Дата добавления: 2014-01-11