Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция u=f(x,y,z). Под областью V (рис. 13) понимается замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями, определенными соответственно уравнениями и (), а с боков цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Оz. В частном случае может оказаться, что образующие цилиндрической поверхности равны нулю (рис. 14).

Рис. 13

Переменные x и y изменяются в плоской области D, которая является проекцией на плоскость xOy пространственной области V.

Рис. 14

Тройной интеграл от функции u=f(x,y,z) записывается так

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Если плоская область D ограничена линиями и () и прямыми х=а и х=b (рис. 15), то тройной интеграл вычисляется по формуле

(1.6.1)

Рис. 15

При вычислении внутреннего интеграла следует рассматривать переменные x и y как постоянные, единственной переменной величиной при этом является z.

Замечание:

1) порядок интегрирования в формуле (1.6.1) может быть изменен;

2) пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда величины постоянные.

Пример.

Вычислить интеграл , область V ограничена линиями .

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 16) и расставим пределы интегрирования.

Вычисление начнем с внутреннего интеграла

Рис. 16

1.

2.

3.

Дата добавления: 2014-01-11