Криволинейные интегралы второго рода. Основные понятия

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рассмотрим задачу: На материальную точку (x;y) действует переменная сила . Под действием этой силы точка перемещается по некоторой кривой АВ (от точки А к точке В). Найти работу, которую производит сила на данном участке.

Решение.

Рис. 22

Разобьем кривую АВ на n частей точками М₀=А, М₁, …, М_i-1, M_i, …M_n=B. На каждой «элементарной дуге» возьмем произвольным образом точку (рис. 22). Заменим каждую дугу вектором , где . Силу F_i будем считать постоянной на векторе перемещения и равной заданной силе в точке С_i дуги , т.е. .

Работа есть скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения.

- работа на i- ом участке. Работа на всей кривой будет равна сумме работ на i- ых участках, т.е. .

За точное значение работы А примем предел полученной суммы

.

Таким образом, работу можно вычислить, проинтегрировав вектор силы по дуге перемещения. Отвлекаясь от физического смысла интеграла, если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом II рода (или интегралом по координатам) и обозначается

Аналогично определяется криволинейный интеграл по пространственной кривой L

Теорема. Если кривая АВ – кусочно-гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует и не зависит от способа разбиения и выбора точки.

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1) Криволинейный интеграл при перемене направления пути интегрирования кривой меняет знак.

2) Если кривая АВ точкой С разбита на части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям

3) Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, то

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy или оси Oz ;

4) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой (обозначается )

Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

Дата добавления: 2014-01-11