Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Рассмотрим операционный метод решения дифференциальных уравнений на примере уравнения третьего порядка.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами

, (6.4.1)

удовлетворяющее начальным условиям:

,

с_0, с₁, с₂ - заданные числа.

Будем считать, что решение уравнения функция y=y(t) и ее производные и функция f(t) являются оригиналами.

,

Пользуясь свойством дифференцирования оригинала, запишем:

В уравнении (6.4.1) перейдем от оригиналов к изображениям

Полученное уравнение называют операторным или уравнением в изображениях. Разрешают его относительно Y.

- алгебраические многочлены от переменной р.

Равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (6.4.1).

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению получаем частное решение дифференциального уравнения.

Пример: методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Перейдем от оригиналов к изображениям

Запишем исходное уравнение в изображениях и решим его относительно Y

Чтобы найти оригинал полученного изображения, знаменатель дроби разложим на множители и запишем полученную дробь в виде суммы простейших дробей.

Найдем коэффициенты А, В, и С.

Пользуясь таблицей запишем оригинал полученного изображения

- частное решение исходного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пример:

- неизвестные функции.

Переходим к изображениям

Получаем систему изображающих уравнений

Решаем систему методом Крамера. Находим определители:

Находим решение изображающей системы X(p), Y(p), Z(p).

Далее находим оригиналы полученных изображений

Получили искомое решение системы

С помощью операционного исчисления можно находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных; вычислять интегралы. При этом решение задач значительно упрощается. Применяется при решении задач уравнений математической физики.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какая функция называется оригиналом?

2. Какая функция называется изображением оригинала?

3. Функция Хевисайда и ее изображение.

4. Получить изображение для функций оригиналов, пользуясь определением изображения: f(t) =t, .

5. Получить изображения для функций , пользуясь свойствами преобразований Лапласа.

6. Найти функции оригиналы, пользуясь таблицей изображений: ;

7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения методами операционного исчисления.

Литература: [5] стр. 411-439, [6] стр. 572-594.

Примеры: [2] стр. 305-316.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1997.– 304с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1997.– 416с.

3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть 4./ И.А. Каплан - Издательство Харьковского государственного университета, 1966 г., 236 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах, том 1: учеб. пособие для втузов./ Н.С. Пискунов – М.: изд. «Наука», 1972.– 456 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 2: учеб. Пособие для втузов../ Н.С. Пискунов –М.: изд. «Наука»,1972.– 456 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.–4-е изд./ Д.Т. Письменный –М.: Айрис-пресс, 2006.–608 с. – (Высшее образование).

7. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики. Изд. 2-е, переработ. и доп. Учеб. пособие для втузов./ В.А. Слободская – М.: Высш. шк., 1969.– 544с.

© Ирина Александровна Драчева

Конспект лекций Высшая математика

для студентов направления 6.070104 «Морской и речной транспорт»

специальности «Эксплуатация судовых энергетических установок»

дневной и заочной формы обучения 2 курс

Тираж______экз. Подписано к печати ______________

Заказ №__________. Объем__2,78__п.л.

Изд-во «Керченский государственный морской технологический университет»

98309 г. Керчь, Орджоникидзе, 82

Дата добавления: 2014-01-11