Частотные и временные характеристики типовых звеньев

а) Безынерционное звено: W (p)= K.

Частотные характеристики: W (j w)= Ke^{j 0}; M (w)= K; j(w)=0; L (w)=20lg K. Частотный годограф – это точка на комплексной плоскости c координатами (K; 0).

Временные характеристики: w (t)=£^–1{ K }= K d(t); h (t)=£^–1{ K/p }= K 1(t).

Уравнение вход – выход: y(t) = Ku (t).

Ввиду тривиальности характеристик этого звена, его можно объединять с другими множителями стандартного вида. Оно изменяет значение M (w) в К раз и не вносит искажений по фазе на любой частоте.

б) Дифференцирующее звено: W (p) =Kp.

Частотные характеристики: W (jw) = Kj w; M (w) =K w; j(w) = p / 2;

L (w) = 20lg K+ 20lg w. Частотный годограф – прямая линия, совпадающая с положительной частью мнимой оси. При возрастании w точка годографа удаляется от начала координат вверх. ЛАХ звена – это прямая линия с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку 20lg K на оси ординат.

Временные характеристики: w (t)=£^–1{ Kp }= K d⁽¹⁾(t); h (t)=£^–1{ K }= K d(t).

Уравнение вход – выход: y(t) = K u (t).

в) Интегрирующее звено: W (p) =K/p.

Частотные характеристики: W (j w) = K/j w; M (w) =K/ w; j(w) =– p / 2;

L (w) = 20lg K– 20lgw. Частотный годограф – прямая линия, совпадающая с отрицательной частью мнимой оси. При возрастании частоты w точка годографа приближается к началу координат.

Временные характеристики: w (t)=£^–1{ K/p }= K 1(t); h (t)=£^–1{ K/p ²}= Kt ×1(t).

Уравнение вход – выход: y(t) = Ku (t).

г) Форсирующее звено 1-го порядка: W (p) =K (1± pT).

Частотные характеристики: W (jw) = K (1± j w T); M (w) =K;

j(w) = ± arctg w T; L (w) = 20lg K+ 20lg . Частотный годограф – прямая линия, параллельная положительной (если знак «+») или отрицательной (если знак «–») части мнимой оси. Соответственно этому при возрастании w точка годографа удаляется от вещественной оси вверх (или вниз). Асимптотическая ЛАХ: до частоты сопряжения w_c=1/ T – прямая с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lg K от оси абсцисс, а правее ее – прямая с наклоном +20 дБ/дек. При w®0 фазовая характеристика (ЛФХ) j(w)®0, а при w®¥ j (w)®±p/2 (знак «+» для минимально-фазового звена). При этом j(w_с)= ±p/4, а график j(lg w) оказывается симметричным относительно точки на частоте сопряжения.

Временные характеристики: w (t)=£^–1{ K (1± pT)}= K (d(t) ± T d⁽¹⁾(t));

h (t)= = K( 1(t) ± T d⁽¹⁾(t)).

Уравнение вход – выход: y(t) = K (u (t) ± T u (t)).

д) Апериодическое звено первого порядка: W (p) =K/ (1± pT).

Частотные характеристики: W (jw) =K/ (1± j w T); M (w)=;

j(w)=arctg w T; L (w) = 20lg K – 20lg ;

Частотный годограф – для устойчивого звена (верхний знак) – нижняя половина окружности, радиусом R = K /2 с центром в точке (K /2; j 0), а для неустойчивого звена – верхняя половина окружности. При возрастании частоты w точка годографа стремится по дуге окружности в начало координат. Асимптотическая ЛАХ: до частоты сопряжения w_c=1/ T – прямая линия с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lg K от оси абсцисс, а правее ее – прямая с наклоном –20 дБ/дек.

Временные характеристики: w (t)=£^–1{ K/ (1± pT)}=; h (t)=.

Уравнение вход – выход: ± T y(t)+ y(t) = Ku (t).

По графику h (t) для устойчивого звена (верхний знак в формулах) можно определить приближенные значения параметров K и T: K = h (¥); T» t _п/3, где t _п – время, за которое процесс входит в зону (1±0.05) h (¥) и далее не выходит из нее.

Полученные выше результаты можно применить для исследования других звеньев первого порядка, для которых передаточные функции отличаются от рассмотренных выше, или содержат их в качестве сомножителей. Например, это могут быть следующие часто встречающиеся ЛДЗ:

а) – реальное дифференцирующее звено;

б) – инерционно-форсирующее звено;

в) – фазовращатель;

г) – апериодическое неустойчивое звено (II).

Поясним кратко особенности исследования свойств каждого из этих звеньев.

а) W (p)= W ₁(p) W ₂(p), где . Следовательно

L (w) = L ₁(w)+ L ₂(w); j (w)= j ₁(w)+ j ₂(w), а h (p)= = Þ h (t) = .

Весовую функцию этого звена можно найти как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.

б) W (p)= W ₁(p) W ₂(p), где .

Следовательно, L (w) = L ₁(w) + L ₂(w); j (w)= j ₁(w) + j ₂(w).

Кроме того, можно записать W (p)и при этом h (t)= . Отсюда следует, что при T ₁> T ₂ переходная функция h (t) убывает (преобладают свойства форсирующего звена), а при T ₁< T ₂ она монотонно нарастает (преобладают инерционные свойства).

в) формально этот случай сводится к предыдущему, если считать, что T ₁= – T, а T ₂= T. Но тогда h (t)= , а W (j w) = K (1– j w T)/(1+ j w T)= Ke ^{–2arctg w T}. При этом L (w)=20lg K; j (w)=–2arctg w T; j (w_c)= – p/2. Ординаты АЧХ такого звена не зависят от частоты w и постоянны, а фазовый сдвиг, вносимый звеном, всегда отрицательный и изменяется при возрастании частоты от нуля до –p.

г) в этом случае , т.е. отличие от ранее рассмотренного варианта передаточной функции неустойчивого апериодического звена только в знаке «-» перед дробью. Поэтому их временные характеристики будут отличаться тоже только знаком «минус», а фазовые характеристики – смещением на -p, так как e ^{- j p} = -1:

w (t)=£^–1{ K/ (-1+ pT)}=; h (t)=;

j(w)=arctg w T - p; L (w) = 20lg K – 20lg .

е) Форсирующее звено второго порядка: W (p)= K (1+2x Tp + T ² p ²).

Частотные характеристики: W (jw) = K {(1-w² T ²)+ j 2x Tw } = M (w) e^{j j(w)},

где M (w) =K;

L (w) = 20lg K+ 20lg ; j(w_с)=+p/2.

Вид и расположение частотного годографа существенно зависит от величины и знака параметра x.

Так, например, если x=0, то W (jw) =K (1-w² T ²)= K| (1-w² T ²)| e^{j j(w)}. При этом j(w)=0, если w<w_c, и j(w)= ±p, если w>w_c. Значение j(w_c)=± 90°.

Частотный годограф при x>0 (минимально-фазовое звено) начинается при w=0 на вещественной оси в точке (K; j 0). С возрастанием w точка годографа проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) через два квадранта, приближаясь к вещественной оси. На частоте сопряжения w_с= T ^-1 годограф пересекает мнимую ось в точке (0; 2 K x), где фазовый угол j(w_с) = +90°. Каждому новому значению параметра x=x _i соответствует свой частотный годограф. При x<0 (неминимальнофазовое звено) АФЧХ симметричным образом располагается в нижней полуплоскости, проходя через четвертый и третий квадранты.

Амплитудно-частотная характеристика M (w) = K при значениях |x| £/2 будет иметь точку минимума на частоте резонанса , а M (w_р)=2 K x .

Если x=0, то w_р=w_с, M (w_р)=0; j(w_р)= ± 90°.

Если |x|>/2, то резонанс отсутствует и АЧХ монотонно возрастает с увеличением частоты. Фазовая частотная характеристика является нечетной функцией параметра x и при w = w_с= T ^-1 j(w_с)=sign(x)p/2. Различным значениям x=x _i соответствует семейство АЧХ и ФЧХ, причем крутизна графиков ФЧХ (угол наклона касательных) в окрестности частоты w_с возрастает при уменьшении величины x.

Если |x|³1, то W (p)= K (1± pT ₁)(1± pT ₂), где нижний знак соответствует x<0, а . При этом ЛДЗ эквивалентно двум последовательно соединенным форсирующим звеньям первого порядка. В частности, если x=1, T ₁= T ₂= T, то W (p)= K (1+ pT)². Для этих случаев, очевидно, что

L (w) = L ₁(w) + L ₂(w); j (w)= j ₁(w) + j ₂(w).

Асимптотическая ЛАХ при |x|>1, когда T ₁¹ T ₂, будет иметь три асимптоты с наклонами 0; +20 и +40 дБ/дек и с частотами сопряжения линейных участков w_с1=1/ T ₁ и w_с2=1/ T ₂.

При |x|<1 точная ЛАХ L (w)=20lg M (w) =20lg K +20lg . На частоте сопряжения L (w_с)= 20 lg 2x K, а на частоте резонанса (если |x| £/2) L (w_р)=20lg2x K. Для построения асимптотической ЛАХ при |x|<1 используют формулы для низкочастотной и высокочастотной асимптот: до частоты сопряжения w_с= T ^-1 ЛАХ горизонтальна на уровне 20lg K, а правее w_с – прямая линия с наклоном +40 дБ/дек. Для ФЧХ j(w_с)= sign(x)p/2, а график ЛФХ j(lg w) будет симметричным относительно точки на частоте сопряжения.

Для этого звена не удовлетворяется условие физической осуществимости и рассматривать его временные характеристики не имеет практического смысла.

Уравнение вход – выход: y (t)= K (u +2x Tu + T ² u).

ж) Инерционное звено второго порядка: W (p) =.

Частотные характеристики: W (jw) = K {(1-w² T ²)+ j 2x Tw }^-1 = M (w) e^{j j(w)},

где M (w) =K;

L (w) = 20lg K- 20lg ; j(w_с)=– sign(x)p/2.

Частотный годограф при x>0 (устойчивое звено) начинается при w=0 на вещественной оси в точке (K; j 0). При возрастании w точка годографа проходит в направлении по часовой стрелки через четвертый и третий квадранты, приближаясь к началу координат. На частоте сопряжения w_с= T ^-1 годограф пересекает мнимую ось в точке (0; - jK/ 2x), где фазовый угол j(w_с) = -90°. Каждому новому значению параметра x=x _i будет соответствовать свой частотный годограф. При x<0 (неустойчивое звено) АФЧХ симметричным образом располагается в верхней полуплоскости, последовательно проходя через первый и второй квадранты.

При x=0 (консервативное звено), частотный годограф совпадает с частями вещественной оси: [ K; ¥) при 0 £w<w_с и (–¥; 0) при w_с < w< ¥, а на частоте сопряжения будет разрыв второго рода в направлении вещественной оси.

Амплитудно-частотная характеристика M (w) = K. Если |x| £/2, то АЧХ будет иметь точку максимума на частоте резонанса , где M (w_р)= . Если |x| >/2, то резонанс АЧХ отсутствует и M (w) монотонно убывает с увеличением частоты.

Фазовая частотная характеристика является нечетной функцией параметра x и при w=w_с= T ^-1 принимает значение j(w_с)=-sign(x)p/2. Различным значениям x=x _i соответствует семейство АЧХ и ФЧХ, причем крутизна графиков ФЧХ (угол наклона касательных) в окрестности частоты w_с возрастает при уменьшении |x|.

В тех случаях, когда |x|³1, то , где .

При этом ЛДЗ эквивалентно двум последовательно соединенным инерционным звеньям первого порядка, а если x=1, то T ₁= T ₂= T и W (p)= K/ (1+ pT)². Для этих случаев, очевидно, что L (w) = L ₁(w) + L ₂(w), а j (w)= j ₁(w)+ j ₂(w).

Асимптотическая ЛАХ при |x|>1 (T ₁¹ T ₂) состоит из 3-х асимптот с наклонами 0; -20 и -40 дБ/дек и с частотами сопряжения w_с1=1/ T ₁ и w_с2=1/ T ₂.

При |x|<1 точная ЛАХ L (w)=20lg M (w) = 20lg K -20lg . На частоте сопряжения L (w_с)= 20 lg K/ 2x, а на частоте резонанса (если |x|£/2) значение L (w_р)=20lg K/ 2x . Асимптотическая ЛАХ при |x|£1 представлена низкочастотной и высокочастотной асимптотами. При этом до частоты w=w_с ЛАХ горизонтальная прямая на уровне 20lg K, а правее w_с – это прямая линия с наклоном -40 дБ/дек.

Для ФЧХ j(w_с)=-sign(x)p/2, а график j(lg w) будет симметричным относительно точки на частоте сопряжения.

Временные характеристики: Для удобства изучения будем рассматривать следующие частные случаи:

1) x=0 – консервативное звено (полюсы p _1,2 = ± j w_с= ± j 1/ T):

w (t)= £^–1; h (t)=;

Очевидно, что весовая w (t) и переходная h (t) функции такого звена имеют незатухающий колебательный характер, что соответствует колебательной границе устойчивости.

2) |x|=1 (полюсы p _1,2=–1/ T; –1/ T или p _1,2=1/ T; 1/ T):

w (t)= £^–1; ;

Для устойчивого апериодического звена (верхние знаки в формулах) w (t)®0, а h (t)® K по неколебательному (апериодическому) закону. При этом время переходного процесса t _п»(4¸5) T. Для неустойчивого апериодического звена (нижние знаки в формулах) обе эти функции неограниченно возрастают во времени.

3) |x|>1; w (t)= £^–1;

; полюсы p _1,2=–1/ T ₁;–1/ T ₂ или p _1,2=1/ T ₁; 1/ T ₂;

Общий вид графиков временных характеристик в этом случае аналогичен предыдущему случаю (верхний знак в формулах соответствует устойчивому звену, когда x>1, а нижний знак – неустойчивому, когда x<–1). Для устойчивого звена по графику h (t) можно приближенно определить значения K, T ₁, T ₂: K = h (¥); касательная в точке перегиба А _x пересекает уровни h (0) и h (¥), соответственно при значениях t = T ₁ и t = T_x + T ₁+ T ₂. При этом время переходного процесса t _п»3(T ₁+ T ₂).

4) 0<|x|<1 – колебательное звено; полюсы p _1,2=–a± j b; :

w (t)= £^–1;

.

Для устойчивого колебательного звена, когда 0<x<1, весовая функция w (t) затухает до нуля по колебательному закону с периодом T _к=2pb^–1, а график переходной функции h (t) совершает затухающие колебания относительно уровня h (¥).

Для неустойчивого колебательного звена, когда –1<x<0, весовая функция w (t) нарастает во времени по колебательному закону, а график переходной функции h (t) имеет вид расходящихся колебаний с периодом T _к=2pb^–1.

Для устойчивого колебательного звена по графику h (t) можно приближенно оценить значения параметров его передаточной функции.

Пусть h (¥) – установившееся значение переходной функции; T _к – период з атухающих колебаний; A ₁ и A ₂ – величины первого и второго выбросов переходной функции за уровень h (¥).

Тогда K = h (¥); , где b=2p/ T _к, a = ln(A ₁/ A ₂)/ T _к; x=a T;

Кроме того, зная параметры передаточной функции T и x этого звена, можно приближенно оценить время затухания колебаний переходной функции t _п и перерегулирование s% (относительную величину ее первого выброса):

t _п »3 T /x; s%=»100exp(–p/m), где m=.

Дата добавления: 2014-01-11