Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Законы формальной логики




Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, или тождественными, или эквивалентными.

Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается 0).

 

Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй день недели является тождественно ложным. Тождественно ложным является следующее высказывание: Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен). Математически запись его такова: .

 

Равносильность высказываний А и В записывается с помощью знака равенства (=): А = В. Высказывания А и В равносильны (А = В) тогда и только тогда, когда их эквивалентность является тождественно истинным высказыванием.

В качестве примера рассмотрим два высказывания:

Х = Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него.

Y = Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.

Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний X и Y, достаточно построить их таблицы истинности. Объединим эти две таблицы в одну:

               
А В А&B (1)&(2)
               
               
               
               

Существует два варианта рассуждений:

  1. Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й столбец) совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то по определению X равносильно Y.
  2. Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность Х и Y тождественно истинна, значит, Х и Y равносильны.

 

Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.

Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания – Г. Лейбницем.

 

Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.

Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы.

 

Алгебра высказываний (алгебра логики) – раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний. При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

 

Законы алгебры высказываний (алгебры логики) – это тавтологии.

Иногда эти законы называются теоремами. В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.

Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.

 

Закон тождества: А = А. Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки. Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия. В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу – движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое – в философском смысле – как атрибут материи, второе – в обыденном смысле – как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.

 

Закон непротиворечия: . Не могут быть одновременно истинными суждения и его отрицание. То есть если высказывание А – истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным: . Именно это равенство используется при упрощении сложных логических выражений.

Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Пример невыполнения закона непротиворечия: На Марсе есть жизнь и на Марсе нет жизни.

 

Закон исключенного третьего: . В один и тот же момент времени высказывание может быть либо неистинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А.

Примеры выполнения закона исключенного третьего: Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано. Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо – либо», «истина – ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применим. Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего. Парадокс (неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы.

 

Закон двойного отрицания: . Если отрицать дважды некоторые высказывания, то в результате получается исходное высказывание.

Свойства констант:

(отрицание лжи есть истина) (отрицание истины есть ложь)
A&0 = 0
A&1 = A

Законы идемпотентности:

(отсутствие коэффициентов) (отсутствие степеней)

Законы коммутативности:




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2196; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.