Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Розділ 4 квантова природа випромінювання




S O P

R

S O P

a b

 

a

б в

 


Рисунок 56.1 – Схема дифракції на круглому отворі


(a)


й графіки


інтенсивності у випадку непарного Френеля


(б)


й парного


(в)


чисел відкритих зон


 

 

1

1

 
2

2 3

3 4

 

4 5

а б в


Рисунок 56.2 – Картина відкритих зон Френеля для точок

P ¢(в). Точки P, P ¢і P ¢ ті ж самі, що й на рис. 56.1


P (a),


P ¢(б) і


 

Непарне m Парне m

Рисунок 56.3 – Картина, яку отримуємо при дифракції на круглому отворі

 

Якщо отвір відкриває лише частину центральної зони Френеля, на екрані отримуємо розмиту світлу пляму; чергування світлих і темних кілець у цьому випадку не виникає. Якщо отвір відкриває велику кількість зон, чергування світлих і темних кілець спостерігається лише в дуже вузькій області на межі геометричної тіні; усередині цієї області освітленість виявляється практично рівномірною.

 

§ 57 Дифракція Френеля на круглому диску. Амплітуда світлового вектора в центрі дифракційної картини. Характер дифракційної картини [5]

 

1 Помістимо між джерелом світла S й точкою P непрозорий диск радіусом R (див. рис. 57.1). Якщо диск закриє m перших зон Френеля, амплітуда в точці P буде дорівнювати

A æ A A ö


A = Am +1- Am +2 + Am +3-... =


m +1 +ç


m +1 - Am +2 +


m +3÷ +...


2 è 2 2 ø

Амплітуди сусідніх зон практично однакові. Тому вирази в дужках можна вважати такими, що дорівнюють нулю. Отже, в центрі дифракційної картини завжди буде максимум

A = Am +1/ 2. (57.1)

 

2 З'ясуємо характер картини, яку ми отримуємо на екрані. Очевидно, що освітленість може залежати тільки від відстані r до точки P (рис. 57.1). При невеликому числі закритих


зон амплітуда


Am +1мало відрізняється від


A 1. Тому інтенсивність у точці S буде майже така


сама, як за умови відсутності перешкоди між джерелом S і точкою P. Для точки P ¢, яка зміщена відносно точки P у будь-якому радіальному напрямку, диск буде перекривати


частину


(m + 1) -ї зони Френеля, одночасно відкриється частина m -ї зони. Це приведе до


зменшення інтенсивності. При деякому положенні точки P ¢інтенсивність досягає мінімуму.


Якщо зміститися від центра картини ще далі, диск перекриє додатково частину


(m + 2) -ї


зони, одночасно відкриється частина точці P ¢ досягне максимуму.


(m -1) -ї зони. У результаті інтенсивність зростає й у


Таким чином, у випадку непрозорого диска дифракційна картина має вигляд світлих і

темних концентричних кілець, які чергуються. У центрі дифракційної картини знаходиться світла пляма (рис. 57.2). Зміна інтенсивності світла I залежно від відстані r від центра картини зображена на рис. 57.1 б.

Якщо диск закриває лише невелику частину центральної зони Френеля, він зовсім не

відкидає тіні – освітленість екрана всюди залишається такою самою, як і за умови відсутності перешкоди. Якщо диск закриває багато зон Френеля, чергування світлих і темних


кілець спостерігається тільки у вузькій області на межі геометричної тіні. У цьому випадку Am +1<< A 1, світла пляма в центрі відсутня, і освітленість в області геометричної тіні практично всюди дорівнює нулю.

Непрозорий


круглий диск

 


Екран

P ¢

 

P ¢


 

a b

 

 

Рисунок 57.1 а – Схема отримання дифракції на диску; б – графік інтенсивності

 


3 Світла пляма в центрі тіні, що відкидається диском, стала причиною інциденту, який відбувся між Пуассоном і Френелем. Паризька академія наук запропонувала дифракцію світла як тему для отримання премії за 1818 р. Засновники конкурсу були прихильниками корпускулярної теорії світла й розраховували, що конкурсні роботи принесуть остаточну перемогу їх теорії. Однак Френелем була подана робота, у якій всі відомі на той час оптичні явища пояснювалися з точки зору хвильової теорії. Розглядаючи цю роботу, Пуассон, який був членом конкурсної комісії, звернув увагу на те, що з теорії Френеля випливає «безглуздий» висновок: у центрі тіні, яка відкидається невеликим диском, повинна


 

Рисунок 57.2 – Картина, яка утворю- ється при дифракції на диску


знаходитись світла пляма. Араго відразу зробив дослід і з’ясував, що така пляма дійсно

існує. Це принесло перемогу й загальне визнання хвильової теорії світла.

 

§ 58 Дифракція Фраунгофера на щілині. Амплітуда й інтенсивність світла, максимуми й мінімуми [5]


 

1 Розглянемо дифракцію Фраунгофера на щілині (диф- ракцією Фраунгофера називають дифракцію в паралельних про- менях). Візьмемо дуже довгу вузьку прямокутну щілину шириною b, на яку падає нормально плоска світлова хвиля (рис. 58.1). Помістимо за щілиною збиральну лінзу, а у фокальній площині лінзи екран. Хвильові поверхні падаючої хвилі, площина


 

 

j

b / N

b D j


 

P

 

 

Екран


щілини й екран паралельні один

одному. Відповідно до принципу Гюйгенса-Френеля елементарні


 

Рисунок 58.1 – Схема спостереження дифракції Фраунгофера на щілині


ділянки відкритої частини хвильової поверхні є джерелами вторинних хвиль, а світлове поле за щілиною знаходиться як результат інтерференції цих когерентних вторинних хвиль. Знайдемо, використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля, амплітуду і інтенсивність світла на екрані як функцію кута відхилення від прямолінійного напрямку поширення j.

Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні на N однакових паралельних краям


щілини елементарних зон шириною


b / N. Кожна однакова зона створює в точці P


коливання з однаковими амплітудами, які обернено пропорційні числу зон N:

D A = A 0/ N


 

 

(58.1)


 

(зміст коефіцієнта


 

A 0 з'ясується далі). Лінза збирає у фокальній площині плоскі хвилі від


елементарних зон, які інтерферують між собою. Різницю ходу для двох сусідніх зон, відстань


між якими


b / N, знаходимо з рисунка 58.1:


D = (b / N)sin j. Відповідна різниця фаз


коливань, що збуджуються у точці P сусідніми зонами, дорівнює

d = 2pD = 2p b sinj. (58.2)

l l N

 

5 4

 

 

R

6 2p - N d

d

 

 


A j d

 

R


D A 2

d


Рисунок 58.2 – Векторна діаграма для визначення амплітуди


A jсуми N


коливань із однаковою амплітудою


D A, зміщених за фазою одна відносно


одної на кут d. Рисунок виконаний для N =6


Таким чином, у точці P інтерферують N хвиль із однаковою амплітудою


A 0/ N, які


мають зміщення за фазою відносно одна одної на кут d. Тоді результуюче коливання буде визначатися сумою коливань, які створюють N елементарних зон:

A jcos(w t + a) = D A cos(w t)+ D A cos(w t + d)+... + D A cos(w t + (N -1)d). (58.3)


2 Знайдемо амплітуду результуючого коливання


A j (58.3), використовуючи метод


векторних діаграм. Згідно з методом векторних діаграм кожне коливання зображується вектором, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кут між напрямком цього вектора та напрямом, який взято за вихідний, дорівнює початковій фазі коливання. Відповідно до


(58.3) вектори усіх коливань мають однакову амплітуду


D A. Початкові фази коливань є


різними і відрізняються на одну і ту саму величину, що дорівнює d. Якщо скласти ці вектори геометрично, то неважко побачити, що вони утворюють частину багатокутника,

який вписано в коло радіусом R. З рисунка випливає, що:

D A / 2 = R sin (d / 2),


A j / 2 = R sin[(2p - N d)/ 2]


= R sin (p - N d / 2) = R sin (N d / 2).


Виключивши R із цих рівнянь, одержимо співвідношення

sin (N d / 2)


A j= D A


sin (d / 2)


, (58.4)


 

яке виражає амплітуду


 

A j через амплітуду D A й зміщення за фазою d.


3 Коли замість

(58.2), то отримаємо


D A у формулу (58.4) підставимо вираз (58.1), а замість d – вираз


 

A j=


A 0 sin[(p b / l)sin j].

N sin[(p b / N l)sin j]


Цей вираз є наближеним. Він буде тим більш точним, чим меншими будуть елементарні зони, тобто чим більшим буде N. Тоді знаменник набере вигляду


 

lim { N sin[(p b / N l)sin j]}=


ìsin[(p b / N l)sin j]ü

() ()
lim p b / l sin j = 1× p b / l sin j.


 

N ®¥


í

þ
N ®¥î


(p b / N l)sin j ý


Тут використали, що

 

записати


lim {sin a / a}= 1. Таким чином, вираз для амплітуди у точці P можемо

a®0


 

A j= A 0


sin[(p b / l)sin j]

(p b / l)sin j


 

 

. (58.5)


 

З’ясуємо фізичний зміст константи


 

A 0. Для цього розглянемо вираз (58.5) для


випадку, коли кут j прямує до нуля. Використовуючи


lim {sin a / a}= 1, знаходимо, що в

a®0


цьому випадку


A j дорівнює


A 0. Звідси випливає, що


A 0 є амплітудою усередині


дифракційної картини (проти центра лінзи).

Інтенсивність світла пропорційна квадрату амплітуди. Отже,

 

  I ϕ = I sin 2 [(ð b / ë)sin ϕ]
[(ð b / ë)sin ϕ]2

 

0. (58.6)

 


де I 0


– інтенсивність усередині інтерференційної картини (при


j = 0); I j


інтенсивність у


точці, положення якої визначається даним значенням j.

4 Проаналізуємо отриманий результат. Як з’ясували вище, коли


 

 

j = 0, то


 

 

I j= I 0.


Далі, прирівнюючи чисельник до нуля, знаходимо умову мінімуму інтенсивності


 

 

тобто


sin 2 [(p b / l)sin j]= 0, (p b / l)sin j = ± k p


 

(k = 1,2,3,...),


b sin j = ± k l


(k = 1,2,3,...). (58.7)


 

Таким чином, умова (58.7) визначає положення мінімумів інтенсивності.

Між мінімумами інтенсивності, які визначаються умовами (58.7), знаходяться максимуми різних порядків. Досліджуючи функцію (58.6) на екстремум, можемо знайти їх положення. Наближено можна вважати, що максимуми знаходяться посередині між сусідніми мінімумами.

 

Графік функції (58.6) зображений на рис. 58.3. Вздовж осі абсцис відкладені значення


sin j, осі ординат – інтенсивність


I j.


З умови (58.7) випливає, що одиницю. Тому k l / b < 1, звідки


sin j = ± k l / b. Модуль синуса не може перевищити

 

 

k £ b / l. (58.8)


I j

 


 

- 2 l

b


- l 0 l 2 l

b b b


 

sin j


 

Рисунок 58.3 – Дифракційна картина від однієї щілини


(залежність I j


від sin j)


 

Таким чином, кількість мінімумів інтенсивності визначається відношенням ширини щілини b до довжини хвилі l. При ширині щілини, меншій за довжину хвилі, мінімуми взагалі не виникають. У цьому випадку інтенсивність світла монотонно зменшується від середини дифракційної картини до її країв.

 

 

§ 59 Дифракція Фраунгофера на дифракційних решітках. Амплітуда й інтенсивність світла, максимуми й мінімуми [5]

 

1 Дифракційною решіткою називається оптичний прилад, що складається з великого числа однакових, віддалених одна від одної на однакову відстань щілин (рис. 59.1). Відстань між серединами сусідніх щілин називається періодом решітки.

Розмістимо паралельно решітці збиральну лінзу, у фокальній площині якої помістимо екран. З'ясуємо характер дифракційної картини, яка утворюються на екрані під час падіння на решітку плоскої світлової хвилі (для спрощення математичних розрахунків будемо вважати, що хвиля падає на решітку нормально). Дифракційна картина, яку дає на екрані одна щілина, нам відома з попереднього параграфа. Дифракційну картину від усіх щілин знайдемо, використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля.

Будемо припускати, що довжина


 

просторової когерентності хвилі, що падає, набагато перевищує довжину решітки, так що коливання від усіх щілин можна вважати когерентними. У цьому випадку результуюче коливання в точці P, положення якої визначається кутом j, являє

собою суперпозицію N коливань, які мають


b d

 

 

j D = d sin j

 

j


однакову амплітуду


A j та зміщені одна P O


відносно одної за фазою на однакову

величину d. Таким чином, амплітуда результуючого коливання від решітки буде

визначатися співвідношенням


 

 

Рисунок 59.1 – Схема спектрального приладу з дифракційною решіткою


Aреш cos(w t + a) = A jcos(w t)+ A jcos(w t + d)+... + A jcos(w t + (N -1)d).


Використовуючи метод векторних діаграм, неважко знайти результуючу амплітуду

Aреш (аналогічно, як і в попередньому параграфі):

sin(N d / 2)


Aреш = A j


sin (d / 2).


Зрозуміло, що інтенсивність в цьому випадку буде визначатися такою формулою:

sin 2 (N d / 2)


I реш = I j


sin 2 (d / 2)


. (59.1)


З рис. 59.1 бачимо, що різниця ходу від сусідніх щілин


D = d sin j. Отже, різниця фаз


d = 2p D = 2p d sin j, (59.2)

l l

де l – довжина хвилі у середовищі.


Підставивши у формулу (59.1) (59.2) для d й вираз для параграф), отримаємо


I j(див. попередній


 

I реш = I 0


sin 2 [(p b / l)sin j]

×

[(p b / l)sin j]2


sin 2 [(N p d / l)sin j]

sin 2 [(p d / l)sin j]


 

(59.3)


 

(I 0


 

– інтенсивність, що створюється однією щілиною проти центра лінзи).

2 Проведемо дослідження отриманого результату (59.3). Перший множник у (59.3)


перетворюється в нуль у точках, для яких

b sin j = ± k l


 

 

(k = 1, 2, 3,...). (59.4)


 

У цих точках інтенсивність, яка створюється кожною із щілин окремо, дорівнює нулю. Вираз

(59.4) визначає умову мінімумів дифракційної решітки.


Коли


d sin j = ± m l


(m = 0, 1, 2,...), то чисельник та знаменник другого множника


стають такими, що дорівнюють нулю. Тобто вираз (59.3) стає невизначеним. Розкриваючи невизначеність за допомогою правила Лопіталя, отримуємо

æ ¢ ö


 

lim


æ sin [( N p d / l)sin j] ö


limæ sin ( Nx ) ö


limç (sin( Nx )) x ÷


ç

d sin j® m l


÷ = ç

x ® m


÷ =

x ® m


¢ ÷ =


è sin[(p d / l)sin j] ø


pèsin (x) ø


è sin(x) x ø


æ N cos(Nx


N cos(Nm p)


 

N ×1


= ç

x ® m p


cos(x) ÷=


cos(m p)


= ± = ± N


lim.

è ø


 

Це означає, що другий множник у (59.3) набуває значення умову


 

N 2 в точках, що задовольняють


d sin j = ± m l


(m = 0,,1, 2,...). (59.5)


 

З фізичної токи зору це означає, що для напрямків, які визначаються умовою (59.5), коливання від окремих щілин взаємно підсилюють одна одну, внаслідок чого амплітуди коливань у відповідній точці екрана додаються:

A max= NA j, (59.6)


 

де A j


 

– амплітуда коливання, що утворюється однією щілиною під кутом j.

Умова (59.5) визначає положення максимумів інтенсивності, які називаються


головними. Число m дає порядок головного максимуму.

Піднісши рівність (59.6) у квадрат, отримаємо, що інтенсивність


 

 

I max


 

 

у N 2 раз більше


від інтенсивності


I j, яка створюється у напрямку j однією щілиною:


I max= N


 

 
I j. (59.7)


Зрозуміло, що коли умови (59.5) та (59.4) збігаються, то має місце мінімум інтенсивності. Це пов’язано з тим, що в цьому випадку інтенсивність від кожної щілини дорівнює нулю. Сума нульових інтенсивностей дасть також нульову інтенсивність.

Крім мінімумів, що обумовлені співвідношенням (59.4), у проміжках між сусідніми


головними максимумами є


N -1


додаткових мінімумів. Вони виникають у тих напрямках,


для яких коливання від окремих щілин взаємно гасять один одного. Умову додаткових

мінімумів можна легко знайти, прирівнявши чисельник другого множника (59.3) до нуля:


sin[(N p d / l)sin j]

Звідси знаходимо умову додаткових мінімумів


 

= 0.


 

d sin j = ±


k ¢l

N


 

(59.8)


(k ¢= 1, 2,..., N -1, N +1, 2 N -1, 2 N +1,...). У формулі (59.8) k ¢набуває всіх цілих значень,


крім


0, N, 2 N,..., тобто крім тих, за яких умова (59.8) переходить в (59.5).

 

І


 

 


 

æ l ö


 

æ l ö


æ l ö


æ l ö


ç - 2 ÷

è b ø


ç - ÷

è b ø


ç ÷

è b ø


ç 2 ÷

è b ø


 

- 6 l

d


 

- 5 l

d


 

- 4 l

d


 

- 3 l

d


 

- 2 l - l 0

d d


 

l 2 l

d d


 

3 l 4 l

d d


 

5 l 6 l

d d


 

sin j


 

- l


 

+ l


 

æ

ç1-


 

1 ö l

÷


 

æ

ç1+


 

1 ö l

÷


Nd Nd è


N ø d è


N ø d


 


Рисунок 59.2 – Дифракційна картина від решітки для


N = 4


й d / b = 3.


Штриховою лінією показана інтенсивність I j від однієї щілини, яка помножена на N 2. Головні максимуми 3-го й 6-го порядків збіглися з мінімумами інтенсивності від однієї щілини

 

Між додатковими мінімумами розміщені слабкі вторинні максимуми. Число таких максимумів, що знаходяться на проміжку між сусідніми головними максимумами, дорівнює N - 2.


На рис. 59.2 наведений графік функції (59.3) для


N = 4


та d / b = 3. Штрихова лінія,


що проходить через вершини головних максимумів, зображує інтенсивність від однієї


щілини, яка помножена на


N 2 (див. (59.7)). При


d / b = 3 головні максимуми 3-го, 6-го й т.д.


порядків збігаються з мінімумами інтенсивності від однієї щілини, внаслідок чого ці

максимуми зникають.

Кількість головних максимумів, які можливо спостерігати, визначається відношенням


періоду решітки до довжини хвилі. Виходячи з того, що модуль одиниці, з формули (59.5) отримуємо


sin j


не може перевищити


m £ d / l. (59.9)


§ 60 Дисперсія і роздільна здатність дифракційних решіток. Роздільна здатність об'єктива [5]

 

1 Дисперсія дифракційної решітки. Відомо, що дифракційна решітка, як і призма, розкладає світло в спектр. Характеристиками спектрального приладу є його дисперсія й роздільна здатність. Дисперсія визначає кутову (або лінійну) відстань між двома спектраль- ними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на одиницю (наприклад, на 1 нм).

Кутовою дисперсією називається величина

D = dj / dl, (60.1)

де dj – кутова відстань між спектральними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на

dl.


 

 

де d l


Лінійною дисперсією називають величину

Dлин = d l / dl,

 

– відстань на екрані або на фотопластинці між спектральними лініями, довжини хвиль


яких відрізняються на dl.

Щоб знайти кутову дисперсію дифракційної решітки, продиференціюємо умову головного максимуму за j:


 

 

вважаючи, що l = l(j)

 

 

Звідси


d sin j = m l,

є функцією від j. Опустивши знак мінус, отримаємо

d cos j = m (dl / dj).

 

 

D = dj / dl = m /(d cos j).


 

У межах невеликих кутів


cos j» 1, тому можна вважати

 

D» m / d. (60.2)


Таким чином, кутова дисперсія дифракційної решітки обернено пропорційна періоду d.

Чим вище порядок спектра m, тим більше дисперсія.

2 Роздільна здатність дифракційної решітки. Роздільна здатність визначає мінімальну різницю довжин хвиль dl, при якій дві лінії сприймаються в спектрі роздільно. Роздільною здатністю спектрального приладу називають безрозмірну величину

R = l / dl, (60.3)

де dl – мінімальна різниця довжин хвиль двох спектральних ліній, при якій ці лінії сприймаються роздільно.

Можливість роздільного сприйняття двох близьких

спектральних ліній залежить не тільки від відстані між ними (яке визначається дисперсією приладу), але також і від ширини спектрального максимуму. На рис. 60.1

показана результуюча інтенсивність (суцільні криві), яка


 

спостерігається при накладенні двох близьких максимумів (штрихові криві). У випадку a обидва максимуми сприймаються як один. У випадку б між максимумами лежить мінімум. Два близьких максимуми сприймаються оком роздільно в тому випадку, якщо інтенсивність у проміжку між ними становить не більше 80 % від інтенсивності максимуму. Відповідно до критерію, запропонованого Релеєм, таке співвідношення


а б

Рисунок 60.1 а – Дві близькі спектральні лінії зливаються в одну; б – якщо край одного максимуму збігається із серединою іншого, спектраль- ні лінії сприймаються роз- дільно


інтенсивності має місце в тому випадку, якщо середина одного максимуму збігається із краєм іншого (рис. 60.1б). Таке взаємне розміщення максимумів має місце при певному (для даного приладу) значенні dl.

Знайдемо роздільну здатність дифракційної решітки. Положення середини m -го


максимуму для довжини хвилі l + dl


визначається умовою


d sin jmax= m (l + dl).

Краї m -го максимуму для довжини хвилі l розміщують під кутами, обумовленими співвідношенням

d sin jmin = (m ± 1/ N)l.


Середина максимуму для довжини хвилі хвилі l в тому випадку, коли


l + dl


збігається з краєм максимуму для довжини


 

 

Звідси


m (l + dl) = (m + 1/ N)l.

 

 

m dl = l / N.


Знайшовши із цієї рівності відношення l до dl, отримаємо вираз для роздільної здатності дифракційної решітки

R = mN. (60.4)

Таким чином, роздільна здатність дифракційної решітки пропорційна числу щілин N і порядку спектра m.

Дифракційні решітки виготовляються шляхом нанесення алмазним різцем на поверхню скляної пластинки рівновіддалених штрихів. Роль щілин відіграють проміжки між штрихами. Кращі решітки мають до 1200 штрихів на 1 мм (d» 800 нм).

3 Роздільна здатність об'єктива. Роздільною здатністю об'єктива називається величина R, зворотна найменшій кутовій відстані dy між точками, при якій вони ще

сприймаються роздільно:

R = 1/dy. (60.5)


 

На рис. 60.2 показана картина дифракції Фраунгофера на круглому отворі. Вона має вигляд центральної світлої плями, оточеної темними й світлими кільцями, які чергуються між собою. Відповідний розрахунок показує, що перший мінімум віддалений від центра дифракційної картини на кутову відстань

jmin= arcsin(1,22l / D), (60.6)


 

 

-1,22 Z

D


 

I

 

 

0 1,22 Z

D


 

 

sin j


де D – діаметр отвору. Коли вважати, що


D >> l, то можна


Рисунок 60.2 – Плоска світлова хвиля падає перпендикулярно на перешкоду із


jmin= 1,22l / D. (60.7) Переважна частина (близько 84%) світлового потоку, що проходить через отвір,

потрапляє в область центральної світлої плями.


круглим отвором. Унизу показана інтен-

сивність світла на екрані, розміщеному у фокальній площині лінзи


Інтенсивність першого світлого кільця становить усього 1,74%, а другого – 0,41 % від інтенсивності центральної плями. Інтенсивність інших світлих кілець ще менше. Тому в першому наближенні дифракційну картину можна вважати такою, що складається з однієї лише світлої плями з кутовим радіусом, яка визначається формулою (60.6). Ця пляма є, по


суті, зображенням нескінченно віддаленого точкового джерела світла (на отвір падає плоска світлова хвиля).

Дифракційна картина не залежить від відстані між отвором і лінзою. Зокрема, вона

буде такою самою і у випадку, коли краї отвору суміщені з краями лінзи. Звідси випливає, що найдосконаліша лінза не може дати ідеального оптичного зображення. Внаслідок хвильової природи світла зображення точки, яка дається лінзою, має вигляд плями, що являє собою центральний максимум дифракційної картини. Кутовий розмір цієї плями зменшується при збільшенні діаметра оправи лінзи.

При дуже малій кутовій відстані між двома точками їх зображення, яке отримуємо за

допомогою якого-небудь оптичного приладу, накладаються один на одного й дають одну пляму. Отже, дві дуже близькі точки не будуть сприйматися за допомогою приладу роздільно, або, як кажуть, не будуть розділятися приладом. Тому, яким би великим не було зображення, на ньому не видно відповідних деталей.

Знайдемо роздільну здатність об'єктива


зорової труби або фотоапарата для випадку, коли розглядаються або фотографуються дуже віддалені предмети. За цієї умови промені, які йдуть в об'єктив від кожної точки предмета, можна вважати паралельними й користуватися формулою (60.6). Відповідно до критерію Релея дві близькі точки будуть ще розрізнені, якщо середина центрального дифракційного максимуму для однієї точки збігається із краєм центрального максимуму (тобто першим мінімумом) для іншої точки. На рис. 60.3 видно, що це відбудеться, коли кутова відстань між точками dy буде

дорівнювати їх кутовому радіусу (60.6). Діаметр


Напрямок на

1-шу точку

 

 

dy

 

 

Напрямок на

2-гу точку

 

Рисунок 60.3 – Якщо край одного максимуму збігається із серединою іншого, точки сприймаються роздільно


оправи об'єктива D набагато більше від довжини хвилі l. Тому можна вважати, що

dy = 1,22l / D» l / D.


 

Звідки


 

 

R» D / l. (60.9)


Отже, роздільна здатність об'єктива пропорційна його діаметру.

Діаметр зіниці ока при нормальному освітленні дорівнює приблизно 2 мм.


Підставивши це значення у формулу (60.8) і взявши l = 500

dy» 500 ×10-9 /(2 ×10-3) = 0,25×10-3 рад» 1¢.


нм, отримаємо


 

Таким чином, мінімальна кутова відстань між точками, які око сприймає ще роздільно, дорівнює одній кутовій хвилині. Цікаво, що відстань між сусідніми світлочутливими елементами сітківки ока відповідає цій кутовій відстані.

 

§ 61 Дифракція на просторових структурах. Закон Вульфа-Брегга. Рентгенівська спектроскопія. Рентгеноструктурний аналіз [5]

 

1 Розмістимо дві дифракційні решітки одну за одною так, щоб їх штрихи були взаємно перпендикулярними. Перша решітка (штрихи якої, скажімо, вертикальні) дасть у горизонтальному напрямку ряд максимумів, положення яких визначаються умовою

d 1sin j1= ± m 1l (m 1= 0,1,2,...). (61.1)

Друга решітка (з горизонтальними штрихами) розіб'є кожний із утворених першою решіткою пучків на розміщені вздовж вертикалі максимуми, положення яких визначаються умовою

d 2sin j2= ± m 2l (m 2 = 0,1,2,...). (61.2)

 


У результаті дифракційна картина буде мати вигляд правильно розміщених плям, кожній з


яких відповідають два цілих індекси


mm 2(рис. 61.1).


Таку ж дифракційну картину отримаємо, коли замість двох різних решіток взяти одну прозору пластинку з нанесеними на неї двома системами взаємно перпендикулярних

штрихів. Подібна пластинка являє собою двовимірну періодичну структуру (звичайна


решітка – одновимірну структуру). Вимірявши кути


j1 й


j2, які визначають положення


максимумів, і знаючи довжину хвилі l, можна знайти за формулами (61.1) і (61.2) періоди


структури


d 1 й


d 2. Якщо напрями, у яких структура періодична (наприклад, напрями, які


перпендикулярні до штрихів решіток), утворять кут a, відмінний від нуля, дифракційні максимуми розмістяться не у вершинах прямокутників (як на рис. 61.1), а у вершинах паралелограмів. У цьому випадку за дифракційною картиною можна визначити не тільки


періоди


dd 2, але й кут a.


 


- 2;2

 

 

- 2;1

 

 

- 2;0


-1;2

 

 

-1;1

 

 

-1;0


0;2

 

 

0;1

 

 

0;0


1;2

 

 

1;1

 

 

1;0


2;2

 

 

2;1

 

 

2;0


 


- 2; - 1 -1; - 1


0; -1


1; -1


2;-1


 


- 2;-2


-1;-2


0;-2


1;-2


2;-2


 

Рисунок 61.1 – Дифракційна картина від двовимірної періодичної структури


 

Рисунок 61.2 – Тривимірна періо- дична структура (кристал)


 

Дифракційну картину, аналогічну до зображеної на рис. 61.1, дають будь-які двовимірні періодичні структури, наприклад, система невеликих отворів або система непрозорих маленьких кульок.

Для виникнення дифракційних максимумів необхідно, щоб період структури d був більше l. У іншому випадку умови (61.1) і (61.2) можуть бути задоволені тільки при значеннях mm 2, які дорівнюють нулю (модуль sin j не може перевищувати одиниці).

Дифракція спостерігається також на тривимірних структурах, тобто просторових системах, які мають періодичність у трьох напрямках, що не лежать в одній площині

(рис. 61.2). Подібними структурами є всі кристалічні тіла. Однак їх період (порядку 0,1 нм) занадто малий для того, щоб можна було спостерігати дифракцію у видимому світлі. У


випадку кристалів умова


d > l


виконується тільки для рентгенівських променів. Уперше


дифракція рентгенівських променів на кристалах спостерігалася в 1913 р. у досліді Лауе, Фрідріха й Кніппінга (Лауе належить ідея, іншим авторам – реалізація досліду).

2 Російський учений Вульф і англійські вчені У.Г. і У.Л. Брегги показали незалежно один від одного, що розрахунок дифракційної картини від кристалічної решітки можна

здійснити у такий спосіб. Проведемо через вузли кристалічної решітки паралельні рівновіддалені площини (рис. 61.3), які ми будемо називати атомними шарами. Якщо хвиля,

яка падає на кристал, є плоскою, то огинаюча вторинних хвиль, що створюються атомами, які лежать у такому шарі, також буде плоскою. Таким чином, сумарну дію атомів, що лежать

в одному і тому самому шарі, можна подати у вигляді плоскої хвилі, яка відбилася від атомного шару за звичайним законом відбиття.

Плоскі вторинні хвилі, що відбилися від різних атомних шарів, когерентні й будуть інтерферувати одна з одною подібно до хвиль, які посилаються в цьому напрямку різними

щілинами дифракційної решітки. При цьому, як і у випадку решітки, вторинні хвилі будуть

 

 


практично гасити один одну у всіх напрямках, крім тих, для яких різниця ходу між сусідніми хвилями є кратною l. На рис. 61.3 бачимо, що різниця ходу двох хвиль, які відбилися від


сусідніх атомних шарів, дорівнює


2 d sin q, де d – період кристала в напрямку,


перпендикулярному до розглянутих шарів; q – кут, додатковий до кута падіння, який називають кутом ковзання падаючих променів. Отже, напрями, у яких отримуємо

дифракційні максимуми, визначаються умовою

2 d sin q = ± m l (m = 1,2,...). (61.3)

 

Це співвідношення називається формулою Вульфа-Брегга (закон Вульфа-Брегга).

 

II II II II III III III

I

 

I

q q q

I


d d sin q


 

d sin q I

 

I


 


Рисунок 61.3 – Різниця ходу хвиль, відбитих від двох сусідніх атомних


Рисунок 61.4 – Три системи атомних шарів, які відрізняються густиною


шарів, дорівнює


2 d sin q


атомів


 

Атомні шари в кристалі можна провести великою кількістю способів (рис. 61.4). Кожна система шарів може дати дифракційний максимум, якщо для неї виявиться виконаною умова (61.3). Однак помітну інтенсивність будуть мати тільки ті максимуми, які отримуємо за рахунок відбиття від шарів, які досить густо «засіяні» атомами (наприклад, від шарів I і II на рис. 61.4).

3 Дифракція рентгенівського випромінювання на кристалах застосовується у двох

основних випадках. Вона використовується для дослідження спектрального складу рентгенівського випромінювання (рентгенівська спектроскопія) і для вивчення структури кристалів (рентгеноструктурний аналіз).

Визначаючи напрями максимумів, які утворюються при дифракції досліджуваного

рентгенівського випромінювання на кристалах з відомою структурою, можна обчислити довжини хвиль. Спочатку для визначення довжин хвиль були використані кристали кубічної системи, причому міжплощинні відстані визначалися з густини й відносної молекулярної маси кристала.

У методі структурного аналізу, запропонованому Лауе, пучок «білого» (тобто з різними довжинами хвиль) рентгенівського випромінювання спрямовувався на монокристал. Для кожної системи шарів, досить густо «засіяних» атомами, знаходимо довжину хвилі, для якої виконується умова (61.3). Тому на поміщеній за кристалом фотопластинці утворюється (після проявлення) сукупність темних плям. Взаємне розміщення плям відображає симетрію кристала. За відстанями між плямами й за їх інтенсивностями вдається знайти розміщення атомів у кристалі й відстані між ними. На рис. 61.5 наведена лауеграма берилу (мінералу із групи силікатів).

У методі структурного аналізу, розробленому Дебаєм і Шерером, використовуються монохроматичне рентгенівське випромінювання й полікристалічні зразки. Досліджувана речовина подрібнюється в порошок, з якого пресується зразок у вигляді дротинки. Зразок установлюється вздовж осі циліндричної камери, на бічну поверхню якої укладається фотоплівка (рис. 61.6). У величезній кількості хаотично орієнтованих кристаликів знайдеться багато таких, для яких виявиться виконаною умова (61.3). Причому дифрагований промінь


для різних кристаликів буде лежати у різних площинах. У результаті для кожної системи атомних шарів і кожного значення m вийде не один напрям максимуму, а конус напрямків, вісь якого збігається з напрямом пучка (див. рис. 61.6). Картина, яку отримаємо на плівці (дебаєграма), має вигляд, як на рис. 61.7. Кожна пара симетрично розміщених ліній відповідає одному з дифракційних максимумів, які задовольняють умову (61.3) при деякому значенні m. Розшифрування рентгенограми дозволяє визначити структуру кристала.

 

Рисунок 61.5 – Лауеграма берилу

 

Рисунок 61.6 – Одержання рентгенограми за методом Дебая й Шерера

 

Рисунок 61.7 – Дебаєграма

 

ТЕМА 9 ПОЛЯРИЗАЦІЯ СВІТЛА

 

§ 62 Поляризоване й природне світло. Поляризатор. Ступінь поляризації [5]

 

1 При вивченні інтерференції й дифракції ми не звертали уваги на поперечність світлових коливань, припускаючи, що коливання мають один і той самий напрямок. Перейдемо тепер до вивчення явищ поляризації світла, тобто таких явищ, які пов’язані з поперечністю електромагнітних хвиль.


Світло, у якого напрями коливань упорядковані будь-яким чином, називається

поляризованим.

Якщо коливання світлового вектора відбуваються тільки в одній площині, яка проходить через напрямок поширення променя, то таке світло називається плоско - (або

лінійно) поляризованим. Площина, в якій відбуваються коливання світлового вектора,

називається площиною коливань, або площиною поляризації (див. рис. 62.1).

Упорядкованість коливань може полягати й у


.

тому, що вектор E


Z

може обертатися відносно


променя, одночасно змінюючись за величиною. У X

.


результаті кінець вектора E


описує еліпс (див.


рис. 62.2). Таке світло називається еліптично

..


поляризованим. Якщо кінець вектора E


описує коло, E


то таке світло називається поляризованим по колу.

Зрозуміло, що еліптично поляризоване світло можна H

подати як сукупність двох взаємно Y


перпендикулярних лінійно поляризованих променів світла.

2 У природному світлі коливання різних перпендикулярних до променя напрямків

невпорядковано змінюють один одного. Всі напрями коливань природного світла мають однакову

ймовірність. Таким чином, природне світло можна подати як сукупність двох некогерентних


Рисунок 62.1 – «Моментальна фото-

графія» плоскої лінійно поляри- зованої світлової хвилі, що по-

.

ширюється вздовж осі Z. Вектор E

коливається в площині XZ, вектор

.

H – уздовж осі YZ. Площина XZ

площина поляризації


електромагнітних хвиль, які поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах і мають однакові інтенсивності. Таке уявлення про природне світло суттєво спрощує розгляд

проходження природного світла через поляризаційні пристрої.


3 Плоскополяризоване світло можна отримати із

природного за допомогою приладів, які називаються поляризатори. Поляризатори вільно пропускають коливання, паралельні площині, яку називають площиною поляризатора, і повністю або частково затримують коливання, які перпендикулярні до цієї площини. Поляризатор, що затримує перпендикулярні до його площини коливання тільки частково, будемо називати неідеальним. Просто поляризатором ми будемо називати ідеальний поляризатор, який повністю затримує коливання, перпендикулярні до його площини, і не послабляє коливань, паралельних площині.

На виході з неідеального поляризатора

отримуємо світло, у якому коливання одного напрямку переважають над коливаннями інших напрямків. Таке світло називається частково поляризованим. Його можна розглядати як суміш природного й плоскополяризованого. Частково поляризоване світло,


Y

 

 

.

E

E y

 

E x X

 

 

Рисунок 62.2 – В еліптично поля- ризованому світлі кінець вектора

.

E рухається по еліпсу в площині

XY, перпендикулярній до нап- рямку поширення світла (вздовж

осі Z)


як і природне, можна подати у вигляді накладення двох некогерентних плоскополяризованих хвиль із взаємно перпендикулярними площинами коливань. Відмінність полягає в тому, що у

випадку природного світла інтенсивність цих хвиль однакова, а у випадку частково поляризованого – різна.

Зазначимо, що поляризатор, який використовуваний для дослідження характеру поляризації світла, називають аналізатором.

4 Якщо пропустити частково поляризоване світло через поляризатор, то при його обертанні навколо напрямку поширення світлового променя інтенсивність світла на виході


буде змінюватися в межах від


I max


до I min, причому перехід від одного із цих значень до


іншого буде відбуватися при повороті на кут, що дорівнює p / 2. Вираз

P = I max - I min

I max + I min


 

(62.1)


 

визначає ступінь поляризації. Для плоскополяризованого світла


 

I min= 0


 

й P = 1; для


природного світла


I max = I min й


P = 0. До еліптично поляризованого світла поняття ступеня


поляризації не застосовується.

 

§ 63 Закон Малюса. Проходження природного світла через поляризатор [5]


 

1 Розглянемо, як змінюється інтенсивність лінійно поляризованого світла при проходженні через поляризатор.

Нехай на поляризатор падає світло, в якому коливання амплітуди


 

Площина поляризатора


A 0 відбувається в площині, що утворює із площиною


A || A 0


поляризатора кут j (див. рис. 63.1). Розкладемо амплітуду

.


коливання


A 0на два коливання з амплітудами j


A ||= A 0cos j й


A ^= A 0sin j. (63.1).

A
^


Зрозуміло, що коливання, яке є паралельним площині

поляризатора, повністю пройде через поляризатор, а коливання,


Рисунок 63.1


яке є перпендикулярним до площини поляризатора, буде затримано (див. рис. 63.2).

 
 
Інтенсивність пропорційна квадрату амплітуди. Тому якщо на поляризатор падає


плоскополяризоване світло інтенсивності поляризатора буде визначатися виразом


I ~ A 2, то інтенсивність світла на виході


I ~ (A)2= A 2 cos2j, або


= 2 j, (63.2)


 

|| 0


I I 0cos


 

де I 0


 

інтенсивність плоскополяризованого світла,


 

Площина


що падає на поляризатор. Співвідношення (63.2)

називають законом Малюса.

2 Розглянемо, як змінюється інтенсивність природного світла при проходженні через


поляризатора

 

j
A


I

.

A ||


поляризатор. У цьому випадку також подамо

I
.


амплітуду світлового вектора


A 0, що падає на


поляризатор, у вигляді (63.1). Зрозуміло, що і у

випадку природного світла через поляризатор


пройде тільки складова


A ||= A 0cos j, яка паралельна


Рисунок 63.2 – Поляризатор пропус-

кає тільки складову світлового


площині поляризатора. Тому інтенсивність на виході

з поляризатора буде пропорційною середньому


коливання, яка паралельна площині пропускання поляризатора і дорів-


значенню квадрата паралельної складової світлового

вектора


нює


A ||


= A 0


cos j


 

A
 
I ~ ||


 

A
=
 
2 cos2j


 

. (63.3)


 

У природному світлі кут j з часом змінюється, усі значення j мають однакову ймовірність. Тому частина світла, що пройшла через поляризатор, буде пропорційною середньому


значенню


cos2 j


, тобто 1/2. Таким чином, інтенсивність природного світла після


 

проходження поляризатора дорівнює


 

де I 0


I = I 0/ 2, (63.4)

 

– інтенсивність природного світла, що падає на поляризатор.


 

 

§ 64 Поляризація світла при відбитті та заломленні. Закон Брюстера [5]

 

1 З’ясуємо, за яких умов можлива поляризація світла. Коли кут падіння світла на межу розділу двох прозорих діелектриків (наприклад, на поверхню скляної пластинки) відмінний від нуля, то відбитий і заломлений промені виявляються частково поляризованими. У відбитому промені переважають коливання, що перпендикулярні до площини падіння, у заломленому промені – коливання, які паралельні площині падіння (рис. 64.1). Ступінь поляризації залежить від кута падіння.


Позначимо через умовою


q Бр


кут, який визначається


 

Рисунок 64.1 – У відбитому


tg q Бр = n 12


(64.1)


світлі переважають коливання,

що перпендикулярні до площини


(n 12


– показник заломлення другого середовища


падіння (вони зображені


відносно першого). При куті падіння, що дорівнює


q Бр,


точками), у заломленому світлі –


відбитий промінь є повністю поляризованим (він містить тільки коливання, які перпендикулярні до площини падіння). Ступінь поляризації заломленого


коливання, які паралельні

площині падіння (вони зображені двосторонніми стрілками)


променя при куті падіння, що дорівнює


q Бр, досягає найбільшого значення, однак цей


промінь залишається поляризованим тільки частково. Співвідношення (64.1) називають


законом Брюстера, а кут q Бр


кутом Брюстера.


2 Легко переконатися у тому, що при падінні світла під кутом Брюстера відбитий і заломлений промені взаємно перпендикулярні (див. рис. 64.2). Для цього, крім закону Брюстера (64.1), використаємо закон заломлення


 

q Бр


 

q Бр


 

E


sin q Бр

sin g


 

= n 12


 

. (64.2) a

.


Прирівнюючи (64.1) та (64.2), отримуємо


g E |¢| ¢


 

 

або


sin q Бр

sin g


 

= n 12


 

= tg q Бр


sin q Бр

º,

cos q Бр


 

.

E




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1001; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.