Производная функции одной переменной

Лекция 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Содержание лекции: Производная функции одной переменной. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производные неявных и параметрически заданных функций. Дифференциал.

Цели лекции: знакомство с основными понятиями дифференциального исчисления функции одной переменной.

а) механический смысл производной

Пусть s = f (t) – путь, пройденный за время t, D t – приращение времени, D s – приращение расстояния. Тогда – средняя скорость движения за промежуток времени от D t до (t +D t), – скорость в данный момент t или v (t) – производная от пути по времени.

б) общее определение производной

Пусть функция y = f (x) определена при х и (х + h) для любого достаточно малого h: ½ h ½<< 1.

Тогда при условии, что D x = h, D y = f (x + h) – f (x), получим

.

Т.к х фиксировано, то – функция, зависящая от h, определенная в промежутке – e £ h £ e, кроме h = 0.

◙ Если существует предел то этот предел называется производной функции f (x) при заданном х, а сама функция f (x) при этом называется дифференцируемой в точке х.

Обозначение: .

◙ Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

! З а м е ч а н и е. Если при некотором значении х производная f¢ (x) существует, то при этом значении х функция f (x) непрерывна. Обратное утверждение неверно.

в) геометрический смысл производной: производная f¢ (x) равна тангенсу угла a, образованного касательной к кривой в точке М (х, у) с положительным направлением оси Ох, т.е. равна угловому коэффициенту этой касательной.

Дата добавления: 2014-01-11