Лекция 4. Исследование функций с помощью производных

Свойства дифференциалов

1) d(u+v) = du + dv; 2) d(uv) = udv +vdu; 3) .

Содержание лекции: Теоремы о возрастании и убывании функции. Экстремумы функции одной переменной.Необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции.

Цели лекции: исследование отдельных свойств функции с помощью производных.

Условия монотонности функции

Теорема 1. (для возрастающей функции)

Если f (x), имеющая производную на отрезке [ a, b ], возрастает на этом отрезке, то f¢ (x) ³ 0 на [ a, b ].

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема в промежутке (a, b), причем f¢ (x) > 0 на (a, b), то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ].

Теорема 2. (для убывающей функции)

Если f (x), имеющая производную на отрезке [ a, b ], убывает на этом отрезке, то f¢ (x) £ 0 на [ a, b ].

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема в промежутке (a, b), причем f¢ (x)< 0 на (a, b), то эта функция убывает на отрезке [ a, b ].

Геометрический смысл теорем:

на участке возрастания функции касательная образует с осью абсцисс острый угол, тангенс (производная) которого положителен;

на участке убывания функции касательная образует с осью абсцисс тупой угол, тангенс (производная) которого отрицателен.

Рисунок 1.4.1

Дата добавления: 2014-01-11