Асимптоты

◙ Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М на бесконечность стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Рисунок 1.4.4

1) Вертикальные асимптоты.

Если , или , или , то

прямая х = а есть асимптота кривой y = f (x); верно и обратное утверждение.

2) Наклонные асимптоты.

Если существуют пределы и , то

прямая y = kx + b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая y = f (x) асимптоты не имеет.

З а м е ч а н и е. Рассуждения справедливы и для x ® – ¥.

3) Горизонтальные асимптоты.

Данный вид является частным случаем наклонных асимптот, а именно, если , то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) вертикальные асимптоты:

т.к. у ® + ¥ при х ® – 0 и у ® – ¥ при х ® + 0, то х = 0 – вертикальная асимптота.

2) наклонные асимптоты:

, т.е. k = 2.

, т.е. b = 4.

Следовательно, у = 2 х + 4 есть наклонная асимптота данной кривой.

Общий план исследования функций и построения графиков

Для проведения полного исследования функции необходимо найти:

1) область определения функции и точки разрыва;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) четность, нечетность, периодичность функции;

4) интервалы монотонности, точки экстремума;

5) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) асимптоты графика функции;

7) построить график.

Дата добавления: 2014-01-11