Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегральные суммы




Пусть y = f (x) – непрерывная функция на [ a, b ];

т, М – наименьшее и наибольшее значения функции на [ a, b ].

Разобьем [ a, b ] на п частей: a = х 0 < х 1 < х 2 < …< хп = b.

Положим х1 – х0 = D х1, х2 – х1 = D х2, …, хп – хп-1 = D хп .

Обозначим наибольшее и наименьшее значения f (x) на [ х 0, х 1] через т 1 и М 1, на [ х 1, х 2] через т 2 и М 2,…, на [ хп -1, хп ] через тп и Мп.

Составим интегральные суммы:

1) нижняя интегральная сумма ; 2) верхняя интегральная сумма ;

Свойства верхней и нижней интегральных сумм:

 

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

Определенный интеграл

Возьмем точки x 1, x 2, …, xп: х 0 < x 1 < х 1, х 1 < x 2 < х 2 , …, хп- 1 < xп < хп.

Каждой точке xi сопоставим значение f (xi), .

Составим интегральную сумму для f (x) на [ a, b ]:

.

Т.к. mi £ f (xi) £ Mi " xi Î [ xi -1, xi ] (),

то mi D xi £ f (xi)D xi £ Mi D xi, следовательно, .

Пусть max D xi – наибольшая из длин отрезков [ x 0 , x 1], [ x 1 , x 2], …, [ xп- 1 , xп ].

Заметим, что если max D x i ® 0, то п ® ¥.

◙ Если при любых разбиениях отрезка [ a, b ] таких, что max D xi ® 0, и при любом выборе точек xi на отрезках [ xi- 1, xi ] интегральная сумма

стремится к одному и тому же пределу s, то этот предел называют определен-

ным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a, b ]и обозначают .

Таким образом, по определению, , где

aнижний предел интеграла, bверхний предел интеграла,

[ a, b ]– отрезок интегрирования, хпеременная интегрирования.

◙ Если для функции f (x) выше указанный предел существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке [ a, b ].

З а м е ч а н и е. Т.к. ,– частные случаи интегральной суммы sп, то , ® s, поэтому

и .

Геометрический смысл определенного интеграла (в случае f (x) ³ 0):

определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью Ох.

Основные свойства определенного интеграла:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , А = const;

5) ;

6) " a, b, c Î R,

если только все эти три интеграла существуют;

7) если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] (a < b), то ;

8) если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на [ a, b ]

и a £ b, то ; (Рисунок 2.3.1)

Рисунок 2.3.1 Рисунок 2.3.2

9) (Теорема о среднем) Если f (x) непрерывная функция на [ a, b ], то $ с Î[ a, b ]:

.

При этом f (с) называется средним значением функции на отрезке [ a, b ]. (Рисунок 2.3.2)

10), если нечётная функция;

, если чётная функция.

Вычисление определенного интеграла




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 601; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.