Вычисление тройных интегралов

Пусть V - область в пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью S.

◙ Область V называется правильной (трехмерной) областью, если:

1) всякая прямая l, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку V, пересекает границу области в двух точках, т.е. ;

2) вся V проектируется на Oxy в правильную (двумерную) область D;

3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей (Оху, Оxz, Oyz), также обладает свойствами 1) и 2).

Таким образом,

V – правильная область,если V ограничена снизу и сверху двумя поверхностями, заданными соответственно уравнениями z = y₁ (x, y) z = y₂ (x, y).

Введем понятие трехкратного интеграла.

Пусть D – проекция области V на плоскость Oxy, ограниченная линиями: y = j ₁ (x), y = j ₂ (x),

x = a, x = b,

j ₁ (x) £ j ₂ (x), a < b.

Тогда трехкратный интеграл от функции f (x, y, z) по области V определяется так:

Рисунок 2.5.1

.

Свойства трехкратного интеграла:

1) Если область V разбить на области V ₁ ,V ₂ плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то .

Следствие. .

2) (оценка трехкратного интеграла)

Если m – наименьшее, M – наибольшее значения функции f (x, y, z) в области V, V – объем области V, то .

3) (теорема о среднем)Существует точка Р Î V такая, что

.

Теорема 2. Если f (x, y, z) – непрерывная функция, V – правильная область, то .

Дата добавления: 2014-01-11