Дробный факторный эксперимент. Оценки коэффициентов функции отклика

Оценки коэффициентов функции отклика

Оценки коэффициентов полинома определяются на основе метода наименьших квадр-в

; .

(3.1)

Здесь величина соотв-ет значению отклика в указ-й точке факторного простр-ва при отсутствии повторных опытов или является оценкой математического ожидания знач-й ф-ции отклика по всем r_u повторным опытам в данной точке.

Допустима следующая интерпретация оценок коэффициентов:

-b₀ соответствует значению функции отклика в центре проводимого эксперимента;

-b _i равен приращению ф-ции при переходе знач-я фактора i с нулевого уровня на верх-й;

-b _ij равен нелинейной части приращения функции при одновременном переходе факторов i и j с нулевого уровня на верхний и т.п.

Ошибки в определении коэффициентов полинома можно охарактеризовать соответствующей дисперсией. С учетом того, что кодированные значения факторов принимают значения +1 и ­– 1, оценка дисперсии коэффициента определяется соотношением

. (3.2)

Эту формулу можно применять, если кол-во опытов во всех точках плана одинаково.

Оценка дисперсии среднего значения в конкретной точке плана,

где s _u ² – оценка дисперсии функции отклика в точке u, r_u – число повторных опытов в этой точке плана.

С ростом количества факторов k число точек плана в ПФЭ растет по показательной функции 2 ^k.

В случаях, когда используются только линейные приближения функции отклика, количество опытов следует сократить, используя для планирования так называемые регулярные дробные реплики ПФЭ, содержащие подходящее число опытов и сохраняющие основные свойства матрицы планирования.

Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающая четвертую часть опытов – четвертьрепликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик 2 ^{k – 1}, 2 ^{k – 2} соответственно.

Построение регулярной дробной реплики или проведение дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2 ^{k – p} предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ.

Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k – p определенных столбцов, соответствующих основным факторам.

Т.е. в дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана.

Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2 ^{k – p} должно быть задано p различных генераторов).

Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования.

Матрица планирования ДФП типа 2 ^{k – p} содержит k + 1 столбец и N = 2 ^{k – p} строк.

Дата добавления: 2014-01-11