Оценки коэффициентов функции отклика в дробном факторном эксперименте

Применение дробных реплик ведет к смешиванию оценок параметров модели, а их построение предполагает исключение из рассмотрения некоторых взаимодействий факторов. Оценки смешиваются в связи с тем, что каждый из р столбцов дробного факторного плана совпадает с некоторым произведением основных факторов.

Запись плана в виде 2 ^{k – p} не дает полной характеристики регулярной дробной реплики, так как основные эффекты можно приравнять к различным эффектам взаимодействия.

Правило смешивания, определяющее коррелированные основные эффекты и эффекты взаимодействия, удобно описывать с помощью определяющего контраста реплики.

Определяющий контраст полуреплики получается путем умножения генерирующего соотношения на его левую часть, а так как для любой кодированной переменной x_i ² =1, то левая часть формулы определяющего контраста всегда равна единице и обозначается I.

В частности, для ДФП типа 2^{3 – 1} и генераторе x ₃ = x ₁ x ₂ имеет место определяющий контраст I = x ₁ x ₂ x ₃.

Чтобы определить, с какими параметрами смешана оценка коэффициента данного фактора, следует умножить обе части определяющего контраста на этот фактор.

Учитывая равенство x_i ² =1, получим порядок смешивания оценок коэффициента I = x ₁ x ₂ x ₃ порядок смешивания факторов следующий:

x ₁ = x ₁² x ₂ x ₃ = x ₂ x ₃; x ₂ = x ₁ x ₂² x ₃ = x ₁ x ₃; x ₃ = x ₁ x ₂ x ₃² = x ₁ x ₂ .

Оценки коэффициентов линейной модели для этого плана эксперимента не могут быть получены раздельно и будут смешанными: b₁^*= b₁ + b₂₃; b₂^*= b₂ + b₁₃; b₃^*= b₃ + b₁₂.

Планы типа 2 ^{k – р} являются ортогональными для моделей с взаимодействиями. Поэтому для вычисления оценок коэффициентов получаются простые формулы, как и для ПФЭ:.

Планы дробных реплик строят различным образом, но так, чтобы соблюдались основные свойства матрицы планирования.

а) первая полуреплика x ₁ = x ₂ x ₃ , x ₂ = x ₁ x ₃ , x ₃ = x ₁ x ₂ ;

б) вторая полуреплика x ₁ = – x ₂ x ₃ , x ₂ = – x ₁ x ₃ , x ₃ = – x ₁ x ₂ .

Коэффициенты линейного полинома полуреплик:

а) β₁^* = β₁ + β₂₃ ; β₂^* = β₂ + β₁₃ ; β₃^* = β₃ + β₂₃ ;

б) β₁^* = β₁ – β₂₃ ; β₂^* = β₂ – β₁₃ ; β₃^* = β₃ – β₂₃ .

Реализовав обе полуреплики, путем сложения и вычитания значений коэф-тов β _i ^* можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия.

С ростом количества независимых переменных растет разрешающая способность полуреплик, позволяя оценивать раздельно сначала линейные эффекты, затем парные, тройные взаимодействия и т.д. Но при этом растет и избыточность.

Для полной характеристики разрешающей способности четвертьреплик вводят обобщающие определяющие контрасты, третий компонент которых получается путем перемножения попарно первых двух контрастов. Для выбранной четвертьреплики обобщающий определяющий контраст I = х ₁ x ₂ x ₄ = х ₁ x ₂ x ₃ x ₅ = x ₃ x ₄ x ₅ .

Все совместные оценки находятся путем умножения обобщающего определяющего контраста последовательно на х ₁, х ₂ и т.д. В рассматриваемом случае совместные оценки задаются соотношениями: x ₁ = x ₂ x ₄ = x ₂ x ₃ х ₅ = x ₁ x ₃ x ₄ х ₅,

x ₂ = x ₁ x ₄ = x ₁ x ₃ х ₅ = x ₂ x ₃ x ₄ х ₅,

.......

x ₅ = х ₁ x ₂ x ₄ х ₅= x ₁ x ₂ х ₃ = x ₃ x ₄ .

Оценки коэффициентов линейного полинома задаются соотношениями:

β₁^* = β₁ + β₂₄ + β₂₃₅ + β₁₃₄₅ ,

β₂^* = β₂ + β₁₄ + β₁₃₅ + β₂₃₄₅ ,

и т. д.

Разрешающая способность выбранной четвертьреплики невысокая – все линейные эффекты определяются совместно с парными взаимодействиями. Этой репликой можно пользоваться для оценки линейных эффектов при условии равенства нулю соответствующих парных взаимодействий.

Дата добавления: 2014-01-11