Тема 8. Системи рівнянь

Системи рівнянь – це одне з понять, яке відоме ще зі школи. Але там зустрічалися системи, що містили дві невідомі змінні і для їх визначення було задано два рівняння, які виражали зв’язок між цими змінними. За допомогою системи рівнянь двох змінних можна знаходити точку беззбитковості та точку ринкової рівноваги та багато інших величин. Але системи рівнянь більше ніж двох змінних теж мають своє практичне значення. Будемо розглядати системи рівнянь, в яких кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. Загальний вигляд лінійної системи рівнянь наступний

де числа a_ij називають коефіцієнтами системи, b_i – вільними членами, а x_i є шуканими невідомими системи рівнянь.

Для розв’язування систем рівнянь виділяють два методи. Перший з них – метод Крамера. Введемо наступні позначення, що будемо використовувати для даного методу

В цих позначеннях D - це визначник матриці А, складеної з коефіцієнтів системи рівнянь, а D_i – визначник матриці А, але замість і-ого стовпчика стоїть стовпчик з вільними членами, x_i – розв’язки системи рівнянь.

Справедлива наступна теорема

Теорема (для методу Крамера). Якщо визначник D не рівний нулю, то система має єдиний розв’язок, а якщо D=0, то система не має єдиного розв’язку.

Другий метод називається метод Гаусса. Цей метод являє собою послідовне виключення невідомих. Для системи

поступово будемо виключати змінні. Визначимо

Дата добавления: 2014-01-11