Дисперсионный анализ

Контроль ТП по качественному признаку.

На практике часто приходится иметь дело с качественными признаками. Качественные признаки чаще всего альтернативны (годен/негоден, хорош/плох и т.д.). В альтернативные признаки можно превратить и количественный параметр, если считать например, что выше 70%, например, качественного выпуска – годен, менее – негоден. Такой подход приводит к потере информации.

Предположим, что в партии из N ПП D плат не годны. Параметр Q=D/N – вероятность выборки бракованной ПП. Если взять выборку объемом n, то в ней окажется d бракованных ПП. Вероятность брака в выборке будет равняться q=d/n. Если использовать последовательность повторных выборок объемом n, то можем получить последовательность характеристик вероятностей брака в этих выборках q1,q2,…,qn. Qi называется статистической вероятностью появления брака. Очевидно, что qi – случайная величина, а Q – постоянная. Одной из основных закономерностей проявления случайных событий является то, что qср. =∑qi/r стремится к истинному значению величины брака в генеральной совокупности. Если в партии из N ПП количество дефектных =0, то вероятность того, что будет извлечена годная ПП будет =1. Такое событие достоверно. Если все ПП дефектны, то вероятность извлечения годной платы будет =0. Событие невозможно.

Из этих рассуждений следует, что вероятность появления любого события – величина положительная и лежит в диапазоне от 0 до 1.

Выпуск ЭРА и комплектующих осуществляется на различных предприятиях, и покупателю интересно знать качество приобретаемого товара. Определить принадлежит ли партия товара той или иной генеральной совокупности можно либо с помощью проверки статистических гипотез (Пирсена, Фишера, Стьюдента и др.), что достаточно дорого, либо с помощью дисперсионного анализа.

Суть дисперсионного анализа заключается в следующем: если брать выборки из одной генеральной совокупности с мат.ожиданием М(х) и дисперсией σ²(х), то средние арифметические выборок и дисперсий будут приближаться к мат.ожиданиям и дисперсиям этой генеральной совокупности. Если брать выборки с различных генеральных совокупностей, имеющих различные мат.ожидания и дисперсии, то, при больших объемах выборок, можно заметить, что в пределе эти выборки (средние арифметические и дисперсии) укажут совокупность, из которой выборки производились.

Уменьшить объем выборок можно с помощью дисперсионного анализа. Здесь дисперсии, вычисленные с помощью выборок, разлагаются на составляющие, причем составляющие дисперсий, если выборки взяты из разных генеральных совокупностей, отличаются друг от друга гораздо сильнее, чем в случае, если выборки были бы взяты из одной генеральной совокупности.

Пусть имеется k выборок, объемом n каждая. Общий объем N=k*n. Составим таблицу:

№выборки Наблюдения			…	k
	Х11	Х12	…	Х1k
	Х21	Х22	…	Х2k
…	…	…	…	…
n	Xn1	Xn2	…	Xnk
Частная средняя	X1	X2	…	Xk
Частная дисперсия	S1^2	S2^2	…

Найдем среднюю арифметическую и среднюю дисперсию, рассматривая все элементы, как одну большую выборку.

В дисперсионном анализе кроме общей дисперсии рассматривают ещё 2 оценки рассеивания, одна из которых представляет собой колебания частных средних арифметических вокруг общей средней (х с двумя чертами, дисперсия между выборками s²cp), вторая составляющая – колебание значений х_ij вокруг частных средних (аналог суммы частных дисперсий или дисперсия внутри выборок) s²вн.

Если все выборки делаются из одного потока случайных величин, то дисперсия среди выборок будет равна дисперсии внутри выборок и равна дисперсии этой совокупности.

Рассмотрим дисперсию частных средних относительно общей средней. Т.к. выборка из средних арифметических представляет собой выборку по одному элементу из всех выборок, дисперсию всех элементов выборок можно определить как сумму дисперсий средних арифметических. Т.е. дисперсия среди выборок – . Дисперсию внутри выборок можно определить следующим образом:

Если выборки взяты из одной генеральной совокупности, то отношение дисперсии среди выборок к дисперсии внутри выборок будет примерно равно

Для того, чтобы убедиться принадлежат ли выборки к одной генеральной совокупности, вычисляют отношение и сравнивают значение F (критерий Фишера) с табличным значением. Если при известных значениях k и N полученное отношение меньше табличного, то выборки принадлежат к одной генеральной совокупности.

Дата добавления: 2014-01-11