Пример. Определить собственную частоту колебаний металлоконструкции портала

В рассматриваемом примере распределенная масса балки m(x) = m₀ @ 210 кг/м, жесткость портала при изгибе EJ = 2,4·10⁷ Нм², масса тележки с рабочим органом M_т = 420 кг, длина портала l = 3.6 м. Для определения основной собственной частоты колебаний портала формула Рэлея имеет вид:

Зададим форму колебаний в виде . Это выражение удовлетворяет граничным условиям: при

Величина остается неопределенной и при решении задачи она сократится.

.

.

.

Подставив найденные выражения в формулу Релея, получим: .

На рис.2.30 представлены результаты расчетов по определению собственной частоты основного тона колебаний портала при изменении положения тележки

Рис.2.30. Характер изменения собственной частоты колебаний портала основного тона.

2.3.2. Формула Донкерлея

В противоположность вышеописанному, рассматриваемый способ дает заниженные значения основной собственной частоты колебаний, поэтому он полезен в сочетании с методом Рэлея.Положим, что в некотором сечении безинерционной (невесомой) балки расположена масса (рис. 2.31а)

и собственная частота системы равна , где - коэффициент жесткости в точке "1" ().

Предположим, что массу m₁ необходимо перенести в сечение, расположенное в точке "2", где она примет значение, равное "" (рис. 2.31б). При этом, собственная частота новой системы должна быть равна . Имеем , либо

Таким образом, перенос массы из одного сечения в другое не вызывает изменения частоты, если приводимую массу умножить на коэффициент приведения .

Распространим этот прием на систему (рис. 2.31в), содержащую массы Для каждой массы воспользуемся своим коэффициентом приведения, пренебрегая взаимным влиянием масс, и определим приведенную массу

(2.69)

Разделим обе части равенства (4.23) на "", получим

(2.70)

Так как вывод формулы базировался на пренебрежении взаимного влияния масс, то формула не является точным решением задачи, однако, являясь, простой, в большинстве случаев дает хорошую точность. Для определения собственной частоты необходимо вычислить частоты каждая из которых относится к частной системе с одной степенью свободы.

Пример. Определить низшую главную частоту свободных колебаний безынерционной балки с переменной жесткостью ЕJ и 2ЕJ, несущей масы m и 2m (рис.2.32).

3/8 l

7/8 Pl

A₁₂

2/8 l

1/8 l

1/8 l

2/8 l

3/8 l

6/8 Pl

5/8 Pl

A₁₁

2P

P

l/2

l/2

l/2

l/2

2EJ

2m

m

EJ

Рис.2.32

Нагружая балку силами Р и 2Р, пропорциональными массам, можно получить аналитическое выражение, описывающее изогнутую ось балки. Однако в этом нет необходимости при решении данной задачи, если в формуле Релея выражение потенциальной энергии заменить работой внешних сил, определяемой по теореме Клайперона: . Формула Рэлея для этого случая имеет вид: . Значения и удобно определять методом Мора, перемножая по правилу Верещагина эпюры изгибающих моментов от принятой системы сил, приложенных в направлениях искомых перемещений.

. Имеем

Искомая частота собственных колебаний равна

Теперь определим низшую главную частоту методом Донкерлея:

Найдем главные перемещения перемножая эпюры моментов от единичных сил сами на себя.

Имеем:

Искомая частота колебаний равна:

Так как формула Рэлея дает завышенное значение частоты, а формула Донкерлея - заниженное, то истинная частота лежит в диапазоне:

Если допустить, что истинная частота составляет среднее арифметическое от найденных частот, то ошибка составляет 4 процента.

Раздел 3. Вибрационные машины и оборудование.

3.1. Особенности проектирования вибрационных машин

Проектирование вибрационных машин включает следующие этапы:

1. Изучение физических процессов, протекающих при взаимодействии рабочего органа машины с обрабатываемой средой;

2. Выбор динамической схемы машины и способа возбуждения;

3. Проектирование конструкции и оптимизация параметров вибрации с позиций эксплуатационной надежности и долговечности работы как машины в целом, так и отдельных элементов;

4. Защита оператора и окружающей среды от повышенного уровня вибрации и шума.

Одним из условий успешного проектирования вибрационных машин и оборудования является глубокая изученность вибрационного процесса. При этом должны быть определены рациональные параметры и характер колебаний рабочих органов вибрационных машин, обеспечивающие в технологическом процессе получение положительного эффекта: сокращение времени, снижение энергоемкости, улучшение качества продукции и т.п..

Наряду с известными характеристиками качества и надежности машин, вибрационные машины умеют свои показатели, учитывающие специфику их проектирования и эксплуатации: стабильность, коэффициент усиления вынуждающей силы и уравновешенность.

Стабильность вибрационной машины считается удовлетворительной, если режим колебаний рабочих органов соответствует нормативным параметрам, при которых обеспечивается качественное проведение технологического вибрационного процесса.

Коэффициент усиления вынуждающей силы – степень использования вынуждающей силы, развиваемой вибровозбудителем. Показатель, характеризующий отношение амплитудного значения возбужденной силы (силы инерции), возникающей при сообщении рабочему органу массой гармонических колебаний с заданной амплитудой и частотой , к амплитудному значению вынуждающей силы , развиваемой вибровозбудителем. Этот показатель принято называть коэффициентом усиления , где

Уравновешенность вибрационной машины характеризуется степенью передачи динамических нагрузок на фундамент или поддерживающие опоры. Степень уравновешенности оценивают коэффициентом передачи динамической силы , где - соответственно сила, воспринимаемая фундаментом, и сила инерции, возникающая в процессе колебаний рабочего органа вибромашины.

Выбор характера и параметров колебаний рабочего органа.

Для большинства случаев на начальной стадии проектирования конструктору известны рациональные параметры и характер колебаний, обеспечивающие заданный технологический процесс.

К параметрам относятся частота (период) колебаний и амплитуда колебаний (максимальное отклонение рабочего органа в процессе колебаний от положения равновесия).

Под характером колебаний понимается форма колебаний рабочего органа вибромашины (круговая, эллиптическая, прямолинейная, винтовая и их возможные комбинации), пиковые значения ускорений колебаний при работе машины, спектральный состав периодических колебаний рабочего органа (простые гармонические, бигармонические, полигармонические колебания).

Выбор динамической схемы вибромашины и способа возбуждения.

На этапе проектирования вибрационной машины, когда характер и параметры колебаний выбраны, возникает задача построения динамической схемы вибрационной машины – идеализированное представление рассматриваемой системы, используемое при ее теоретическом исследовании и инженерных расчетах. При этом главным условием адекватности динамической модели проектируемому промышленному образцу является достаточно точное совпадение характера и параметров колебаний реальной машины или ее элементов с идеализированной моделью.

Чаще всего рассматриваются плоские динамические модели, колебания элементов которых происходит в плоскости действия вынуждающей силы.

Наиболее распространенными вибрационными машинами являются одномассные зарезонансные и двухмассные резонансные. При выборе конструкции машины следует учитывать следующие рекомендации.

Удовлетворительной стабильностью обладают одномассные зарезонансные вибромашины с кинематическим (кривошипно-шатунным, эксцентриковым) и инерционным (дебалансным) приводами.

Удовлетворительный коэффициент усиления вынуждающей силы имеют резонансные одномассные и двухмассные вибромашины с кинематическим (кривошипно-шатунным), инерционным (дебалансным) и электромагнитным приводами.

Удовлетворительным коэффициентом передачи динамической силы обладают одномассные вибромашины с кинематическим (эксцентриковым) приводом, двухмассные резонасные с кинематическим (кривошипно-шатунным), инерционным (дебалансным) и электромагнитным приводами.

Особенности проектирования рабочих органов.

Рабочий орган вибромашины непосредственно передает вибрационное воздействие, возбуждаемое вибровозбудителем, обрабатываемой среде. Форма и геометрические размеры его определяются главным образом функциональным назначением и характером технологического процесса. Основными требованиями к конструкциям рабочих органов (кроме технологических) являются достаточная жесткость и выносливость.

При достаточной жесткости (безусловно, в пределах разумного) обеспечиваются колебания рабочего органа как твердого тела и гарантируется отсутствие дополнительных упругих колебаний отдельных элементов и участков. Такие упругие колебания, как правило, возникают на частоте вынуждающей силы или кратных ей. Они нарушают технологический процесс и приводят к появлению в конструкции знакопеременных напряжений.

Существенной особенностью работы вибрационных машин является то, что за период эксплуатации число знакопеременных циклов напряжений, возникающих в элементах конструкций, изготовленных их углеродистых и низколегированных сталей, значительно превышает базовое число циклов, принимаемое равным (2 – 5)·10⁶. Из опыта эксплуатации вибрационных машин установлено, что при расчетах рабочих органов, выполненных из стали Ст3 с применением сварки, допускаемые значения пределов выносливости [] не должны превышать 20…25 МПа. В случаях применения соединений на высокопрочных болтах или заклепках допускаемые напряжения принимаются равными 40…50 МПа. Несмотря на то, что в сварных соединениях коэффициент использования свойств основного металла значительно ниже они нашли большее распространение по причине меньшей стоимости. С целью повышения допускаемых значений пределов выносливости в сварных соединениях необходимо проектировать конструкции, в которых коэффициенты концентрации напряжений, возникающие при изготовлении, имели минимальные значения. Так, например, уменьшение коэффициента концентрации напряжений с 3,2 до 1.4 приводит к увеличению предела выносливости в 3 раза.

При изготовлении рабочих органов вибромашин не рекомендуется использовать сплавы алюминия и пластмассы. Длина резьбовых соединений должна составлять не менее 1,5…2-х диаметров, предпочтительнее применение мелкой резьбы. Необходимо применять стопорение гаек с помощью специальных шайб либо других способов.

При проектировании вибромашин необходимо рассчитывать собственную частоту колебаний элементов конструкции и обращать особое внимание на отсутствие резонанса. Последнее условие соблюдается в случае , где - вынужденная частота колебаний.

Особенности проектирования систем виброизоляции.

В большинстве вибрационных машин обязательными элементами являются упруго-вязкие виброизолирующие устройства (виброизоляторы), обеспечивающие, с одной стороны, снижение динамических нагрузок, передаваемых вибрационной машиной на фундамент или поддерживающие опоры, с другой, заданный режим колебаний.

В качестве виброизоляторов используются металлические пружины, резиновые элементы, пневмобаллонные опоры с резинокордной оболочкой. Целесообразно введение в систему виброизоляции демпфирующих устройств, для гашения колебаний в переходных режимах, в частности при переходе через резонанс при запуске и останове. Демпфирующие устройства уменьшают пусковую мощность вибрационной машины, предохраняют от ударов и сильных толчков рабочий орган. Виброизолирующие устройства проектируются таким образом, чтобы собственная частота колебаний вибромашины была значительно ниже вынуждающей силы. Рекомендуемое отношение .

Особенности проектирования приводных устройств.

Кривошипно-шатунные приводы традиционно используются для машин, имеющих сравнительно низкие частоты (20…100 рад/с) вынужденных колебаний и одновременно значительные (до нескольких сантиметров) амплитуды. Эти приводы возбуждают наряду с основной гармоникой высшие гармоники тем меньше, чем длиннее шатун и больше момент инерции вращающихся масс, находящихся на валу эксцентрика или кривошипа.

Центробежные (дебаласные или инерционные) приводы выделяются простотой конструкции и универсальностью применения: их используют для создания вибраций виброгрохотов, виброконвейеров, вибромельниц, вибродробилок, вибропогружателей свай, виброуплотнителей и т.п. Используемый диапазон частот составляет 150…500 рад/с, амплитуд (0,5…3)·10^-3м. Верхняя граница рабочих частот ограничивается критической частотой подшипников качения.

Для высокочастотных вибромашин, работающих при небольших амплитудах колебаний, целесообразно использовать электромагнитный вибропривод. Основным достоинством машин с электромагнитными приводами являются отсутствие трущихся и требующих смазки частей, простота управления величиной амплитуды колебаний в процессе колебаний. Недостатки – относительно невысокая стабильность амплитуды колебаний, зависящая от постоянства во времени жесткости системы, массы колеблющихся частей, частоты и напряжения тока. Перечисленные недостатки могут компенсироваться применением систем автоматического управления.

В поршневых виброприводах возмущающая сила создается за счет энергии жидкости, находящейся под давлением. Передача этой силы рабочему органу вибромашины, соединенному со штоком цилиндра, может производиться непосред­ственно (активно) путем подачи переменного давления в полости цилиндра; или реактивно вследствие возвратно-поступа­тельного движения поршня или какого-либо другого заменяю­щего его элемента.

По виду рабочей жидкости различают поршневые пневматические и гидравлические виброприводы. Первые выполняются с открытым циклом использования рабочей жидкости, вторые – с замкнутым.

Гидравлические виброприводы по конструктивному исполнению различают регулируемые и нерегулируемые. Гидравлический привод может создавать очень большие возбуждающие силы при больших размахах колебаний, имея весьма компактную конструкцию.

Пневматические виброприводы так же, как и электромагнитные, целесообразно использовать на высокочастотных вибромашинах, используемых во взрывоопасных условиях.

Дата добавления: 2014-01-11