Математические модели и математическое моделирование

Классификация моделей

Модели можно классифицировать по ряду признаков.

По способу построения (форме) модели можно разделить на:

а) материальные модели (иначе их можно назвать предметными). Они воспринимают геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение;

б) информационные модели — их нельзя потрогать или увидеть. Они строятся только на информации. Информационная модель — совокупность информации, характеризующей свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также его взаимосвязь с внешним миром.

Информационная модель — это модель данных, их структур и процедур обработки. Другими словами, информационная модель — это схема, описывающая информацию об объекте и процедуры его исследования. Считаем, что для более полного описания характеристик модели необходимо обратиться к понятию переменной, замещающей атрибут объекта познания.

Информационная модель — это сконструированное по особым правилам необходимое количество переменных, каждая из которых имеет определенное количество значений, в совокупности несущих ненулевое количество информации об объекте познания. При этом правила конструирования совокупности переменных предопределяют процедуры представления и исследования информационной модели.

Базовый критерий целостности информационной модели — это адекватность модели оригиналу. Адекватность включает в себя три вида непротиворечивости:

1) непротиворечивость реализации информации, заключенной в модели. Прогноз изменения состояния объекта, сделанный на основе его модели (в том числе при условии того или иного вмешательства субъекта), должен соответствовать реальности;

2) непротиворечивость накопления информации. Развитие модели (уточнение, пополнение, расширение) на основе новых порций поступающей информации не должно приводить к нарушению системных свойств модели. Если представление об объекте противоречит очевидным фактам, то, скорее всего, представление не совсем правильное;

3) внутренняя непротиворечивость. Если различные элементы модели имеют несовместимость, которая не позволяет им находиться в рамках одной системы, то обработка этой модели как единого целого становится невозможна или не может обеспечить требуемого качества результатов.

Развивается не информация, а информационная модель. Здесь несколько движущих факторов.

Во-первых, поступление новой информации и ее интеграция в модели необходимо приводят к изменению информационной модели (начиная с некоторой ступени развития субъекта, строящего модель).

Во-вторых, изменяются (развиваются) сами моделируемые объекты, и поддержание адекватности модели требует внесения изменений в ее структурное и элементное наполнение.

В-третьих, у субъектов в процессе их собственного развития могут образовываться новые возможности и новые цели. Отсюда и предпосылки, и необходимость развития информационной модели его внешней среды в соответствующем направлении.

Любая автоматизированная информационная система существует до тех пор, пока она способна развиваться вслед за расширяющимися требованиями ее пользователей. А эти требования увеличиваются вслед за развитием возможностей самой системы. Исчерпание способности информационной системы к развитию ведет к появлению новой системы и смерти старой.

Только в построении и функционировании информационных моделей виден реальный путь целенаправленного развития новых информационных технологий.

Информационные модели, в свою очередь, могут быть:

• вербальные — это информационная модель в мысленной или разговорной форме;

• знаковые — это информационная модель, выраженная знаками, т. е. средствами любого формального языка.

По качественной специфике (содержанию модели):

• практическими (в качестве средства научного эксперимента);

• теоретическими (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного).

В зависимости от моделей и целей исследования моделирование может быть:

• предметным (исследование основных геометрических, динамических, функциональных характеристик объекта на модели);

• физическим (воспроизведение физических процессов);

• знаковым (расчетное моделирование, абстрактно-математическое);

• имитационным (программным).

При физическом моделировании модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты и имеют одинаковую физическую природу, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений (в дополнение к геометрическому подобию предусматривается подобие скоростей, сил, материальных сред и т. п.).

При знаковом или структурно-функциональном моделировании моделями служат схемы, чертежи, формулы, предложения в некотором алфавите (естественного или искусственного языка) и т. п. Важнейшим видом такого моделирования является математическое (логико-математическое) моделирование, производимое выразительными и дедуктивными средствами математики и логики.

При имитационном моделировании логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера.

Перечисленные выше виды моделирования не являются взаимоисключающими и могут применяться при исследовании сложных объектов либо одновременно, либо в некоторой комбинации.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением математических моделей.

Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, неравенств, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и взаимозависимости основных характеристик моделируемой системы.

По используемому математическому аппарату математические модели подразделяют на:

1) аналитические (описываемые с помощью систем уравнений, неравенств и т.д.);

2) статистические (реализующие выбор решения путем статистической обработки имеющихся решений).

Математическое моделирование — это изучение поведения объекта в тех или иных условиях путем решения уравнений его математической модели. У математически подобных объектов процессы обладают различной физической природой, но описываются идентичными уравнениями.

На первых порах своего развития математическое моделирование называлось аналоговым. Более того, использование метода аналогии привело к появлению аналоговых вычислительных машин — АВМ.

Общих методов построения математических моделей не существует. Работа над любой математической моделью начинается со сбора и анализа фактического материала. Определяются цели моделирования. Выделяются главные черты изучаемого объекта или явления. Вводятся формализованные характеристики. Принимаются правила работы с ними. В результате возникает математический объект, который и называется математической моделью.

Разрабатываются методы математического анализа модели, которыми она исследуется. Полученные результаты математического моделирования интерпретируются в рамках исходного фактического материала, что позволяет оценить степень адекватности модели. Результаты моделирования не должны противоречить выделенным ранее ключевым экспериментальным фактам. Одновременно модель не может объяснить все стороны изучаемого объекта или явления.

Предпочтение отдается более простым моделям. Отметим, что простота (иногда в ущерб точности) — один из принципов, о котором всегда нужно помнить при разработке математической модели.

Поскольку математическая модель не вытекает непосредственно из описания задачи, одна и та же задача (одно и то же явление) может иметь несколько моделей.

Построение модели в общем случае включает:

· составление математического описания;

· решение уравнений математического описания (аналитическое либо путем создания моделирующего алгоритма);

· проверку адекватности модели (это оценка достоверности построенной математической модели, исследование ее соответствия изучаемому объекту);

· окончательный выбор модели (при наличии нескольких моделей).

Требования к модели

1. Затраты на создание и исследование модели должны быть значительно меньше затрат на создание и проведение эксперимента над оригиналом.

2. Модель должна отражать важнейшие черты явления (оригинала).

3. Модель должна быть по возможности простой, не «засоренной» массой мелких второстепенных деталей.

Дата добавления: 2014-01-11