КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Основні властивості визначника
1) Величина визначника не змінюється, якщо всі його рядки зробити стовпцями, а стовпці — рядками не змінюючи їх нумерації. Вказана операція називається транспонуванням.
Доведення.
Нехай
,
тоді, згідно твердження 1,
Отже, 
. Твердження доведено.
Зауваження. З властивості (1) випливає рівноправність рядків і стовпців визначника.
2) Якщо у визначника поміняти місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.
Доведення.
Нехай
=
.
Тоді
.
Звідки маємо
∆=-∆'.
Твердження доведено.
3) Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника однакові, то визначник дорівнює нулю.
Доведення.
Нехай
,
де 
. Переставимо рядки місцями. Тоді, згідно властивості 2
∆=-∆'.
Але ∆'=∆, оскільки переставлені рядки однакові. Отже, ∆=-∆. Звідки 2∆=0, тобто ∆=0.
Твердження доведено.
4) Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
Доведення.
Нехай
,
тобто 
. Тоді
∆=
=
,
∆=0.
Твердження доведено.
5) Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник також дорівнює нулю.
Доведення.
Нехай
,
де 
. Тоді
∆=
,
∆=0.
Твердження доведено.
6) Якщо всі елементи будь-якого рядка(стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника:
Доведення.
де .
Твердження доведено.
7) Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.
Доведення.
Нехай
.
Тоді
Твердження доведено.
Зауваження. Використовуючи цю властивість можна одержати максимальне число нульових елементів в будь-якому рядку (стовпці) визначника, після чого його обчислення значно спрощується.
Приклад
.
8) Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох відповідних визначників.
.
Зауваження. Цю властивість можна узагальнити на випадок довільного числа доданків.
9) Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
Властивість (9) називають розкладанням визначника по елементам деякого рядка (стовпця).
Якщо
,
тоді
, 
, 
,
, 
, 
.
Доведення.
Доведемо цю властивість для випадку
,
тобто покажемо, що сума добутків елементів другого рядка на їх алгебраїчне доповнення, дорівнює значенню визначника. 
Твердження доведено.
|
|
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 390; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!