Движение вязкой жидкости с продольным градиентом давления

Если рассматривать обтекание вязкой несжимаемой жидкостью выпуклой криволинейной стенки, то можно выделить три области течения (рис.5.10): 1. область с отрицательным градиентом давления , в которой поток ускоряется; 2. область безградиентного течения ; 3. область с положительным градиентом давления , в которой поток тормозится. Будем

Рис.5.9

рассматривать установившееся течение маловязкой несжимаемой жидкости с большими скоростями, т.е. течение вязкой жидкости с большими числами Рейнольдса. При изучении такого потока его принято делить на две части в направлении нормали к стенке:

Рис.5.10

тонкий пристеночный слой, в котором сосредоточено все влияние вязкости – пограничный слой и внешний по отношению к пограничному слою поток, - ядро течения. В ядре течение полагается невязким.

Выделим в пограничном слое элементарную струйку длиной и запишем для нее уравнение Бернулли:

.

Здесь - потери полного давления из-за вязкости. Перепишем это уравнение:

,

поделим на и устремим к нулю. В пределе получим такое уравнение:

. (5.51)

В уравнении (5.51) градиент давления может быть положительным (), отрицательным () и равным нулю (). Градиент скорости вдоль элементарной струйки в пограничном слое также может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Только величина потерь давления из-за вязкости на единицу длины при любых значениях градиентов давления и скорости всегда положительна – жидкость затрачивает свою энергию на совершение работы сил трения. Проведем анализ уравнения (5.51).

1. Безградиентное течение, . Безградиентное течение наблюдается в руслах рек, каналов, в трубопроводах с потоком не полностью заполняющим его поперечное сечение. В таком случае уравнение (5.51) примет вид , из которого следует, что продольный градиент скорости в пограничном слое должен быть отрицательным , поскольку градиент потерь давления положителен всегда. Таким образом, под влиянием трения в безградиентном течении скорость жидкости в элементарной струйке пограничного слоя убывает вдоль стенки. А так как вдоль элементарной струйки расход остается неизменным, то поперечное сечение ее в направлении движения увеличивается, т.е. в целом, толщина пограничного слоя в безградиентном течении увеличивается.

2. Течение , но . Поток в ядре ускоряется под действием разности давления, которая равна градиенту напряжений трения вдоль поверхности. Уравнение (5.49) дает для данного случая такое условие для градиента скорости вдоль элементарной струйки в пограничном слое: - скорость в пограничном слое вдоль течения не изменяется.

3. Течение в ядре ускоренное, , но . В данном случае, когда градиент давления во внешнем потоке по модулю больше градиента потерь давления в пограничном слое, уравнение (5.51) имеет левую свою часть отрицательной, а потому, для выполнения уравнения, в правой его части производная скорости должна быть положительной, т.е. . Следовательно, в этом случае, в элементарных струйках вязкой жидкости, из которых состоит пограничный слой, жидкость движется ускоренно, а поэтому толщина пограничного слоя вдоль обтекаемой стенки уменьшается.

4. Течение в ядре ускоренное , но . В этом случае движущий жидкость градиент давления меньше градиента потерь давления в пограничном слое. Для выполнения уравнения (5.51) необходимо, чтобы градиент скорости в пограничном слое был отрицательным, . Следовательно, в данном случае в ускоряющемся потоке течение в пограничном слое замедленное, а потому толщина пограничного слоя вдоль стенки увеличивается.

5. Течение с положительным градиентом давления, . Поток, обтекающий стенку, тормозится как в ядре, так и в пограничном слое. Толщина пограничного слоя увеличивается, кинетическая энергия жидкости в нем затрачивается на работу сил трения и на возрастание давления. Поэтому в пограничном слое жидкость тормозится быстрее, чем в ядре течения.

Рис.5.11

В какой-то т. O поверхности (рис.5.11) под совокупным действием сил давления и трения жидкость на стенке остановится. За т. O под действием возрастающего давления жидкость начнет двигаться в обратном направлении, образуя

обратный ток жидкости в пограничном слое. Появление обратного тока вызывает отрыв основного потока от обтекаемой стенки. Оторвавшийся основной поток обтекает зону отрыва пограничного слоя. Отрыв пограничного слоя всегда связан с образованием вихрей в результате взаимодействия прямого и обратного течений. Эти вихри проникают во внешний поток, уменьшая статическое и полное давления, увеличивая потери энергии в потоке. Статическое давление в диффузорных каналах при течении с отрывом всегда меньше, чем в каналах с безотрывным течением, т.к. область отрыва уменьшает эффективную площадь поперечного сечения по длине, уменьшает степень расширения канала.

Положение точки отрыва пограничного слоя зависит от режима течения. Ламинарный пограничный слой отрывается при очень малом положительном градиенте давления.

Турбулентный пограничный слой из-за интенсивного поперечного перемешивания имеет более наполненную эпюру скорости, чем ламинарный, т.е. обладает большим запасом кинетической энергии непосредственно вблизи стенки. Поэтому турбулентный пограничный слой более устойчив в отношении к отрыва. – турбулентный пограничный слой при сравнимых условиях оторвется в точке, лежащей ниже по потоку, чем точка отрыва ламинарного пограничного слоя, или вообще не оторвется.

Рассмотрим теперь вопрос о сопротивлении тел, обтекаемых вязкой жидкостью. Силой сопротивления называют силу, действующую на тело в на-правлении потока. Введем безразмерный коэффициент сопротивления, который согласно теории подобия зависит от формы тела, чисел Re и М:

(5.52)

где F — сила сопротивления; и_∞ — скорость плоскопараллельного потока в бесконечности; S — наибольшая площадь поперечного сечения тела.

В дозвуковом потоке сила сопротивления складывается из двух состав-ляющих: силы трения по поверхности и результирующей сил давления. Суммарная сила давления не равна нулю, как в идеальной жидкости, так как пограничный слой искажает основной поток и изменяет распределение давления. Следует подчеркнуть, что в конечном счете эти силы сопротивления вызваны влиянием вязкости жидкости. Хорошо обтекаемым называют тело, для которого сопротивление трения много больше сопротивления давления (пластина, параллельная потоку, крыло с малым углом атаки). Для плохо обтекаемого тела (шар, цилиндр) основным является сопротивление давления (или, как иногда называют, сопротивление формы). На рис. 5.12 для наглядности показаны, про-филь крыла и цилиндр (точка на рисунке), имеющие одинаковый коэффициент сопротивления. Этот рисунок показывает, насколько велико может быть сопротивление давления для плохообтекаемого тела по сравнению с сопротивлением трения хорошообтекаемого тела.

При отрыве пограничного слоя от поверхности тела течение обычно ста-новится неустановившимся. С поверхности тела периодически сбегают вихри, попеременно образующиеся то на одной, то на другой стороне тела. Ввиду этого точки отрыва могут периодически перемещаться по поверхности, а давление на кормовой части тела пульсировать.

Рассмотрим особенность сопротивления плохо обтекаемых тел. На рис. 5.13 дана зависимость коэффициента сопротивления для цилиндра. Из графика следует, что при Re = du/v = (3...5)10⁸ коэффициент сопротивления резко уменьшается. Это явление получило название кризиса сопротивления плохо обтекаемого тела и объяс няется следующим образом.

Рис.5.13. Профиль крыла и цилиндр, имеющие одинако-вое сопротивление

Рис.5.14 Зависимость коэффициента сопротивления цилиндра от числа Рейнольдса:

а – положение точек отрыва для ламинарного – l и турбулентного – t слоев; б) зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса.

Распределение давления по цилиндру при отрывном обтекании, конечно, отличается от расчетного распределения при потенциальном обтекании. При докритическом числе Re минимум давления наблюдается в точке m_v при θ ≈ 70°.

На передней части цилиндра существует ламинарный пограничный слой, который отрывается в точке l (θ ≈ 80°). На задней части цилиндра при отрыве давление ниже, чем на передней, что и вызывает сопротивление формы. При достижении критического числа Re ламинарный слой становится турбулентным до точки отрыва. Поскольку турбулентный слой способен преодолеть большой градиент давления, то отрыв смещается в точку t при θ ≈ 110° (а минимум давления в точку т₂ при θ ≈ 90°). Эти значения зависят от числа Re. Так как в этом случае область пониженного давления на задней стороне цилиндра уменьшается, то резко уменьшается и коэффициент сопротивления. Этого же эффекта можно добиться при меньшем числе Re, турбулизовав ламинарный слой введением, например, шероховатостью поверхности или повышением турбулентности внешнего потока. Эти воздействия приводят к переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный при меньших числах Re и соответственно к перемещению точки отрыва и снижению сопротивления.

При обтекании шара и очень малых числах Re для коэффициента сопро­тивления справедлива теоретическая формула Стокса: С_х = 24/ Re, Re = и_∞ d/v < 1.

Эта формула находит применение, например, при расчете осаждения капелек тумана или расчете движения очень малых капелек жидкости при течении влажного пара. С увеличением числа Re изменение коэффициента сопротивления шара качественно совпадает с законом, приведенным для цилиндра. В частности, кризис сопротивления возникает при Re ≈ 5 × 10⁵. На этом принципе основана работа простого прибора для измерения степени турбулентности внешнего потока. По уменьшению сопротивления маленького шарика регистрируют критическое число Re. Зависимость критического числа Re от степени турбулентности известна по измерениям турбулентности с помощью малоинерционного прибора, которым можно измерять малые пульсации скорости.

Были рассмотрены особенности изменения силы сопротивления округлых плохообтекаемых тел, для которых точка отрыва заранее не фиксирована, а определена режимом обтекания. Плохообтекаемое тело может иметь острые выступающие углы (например, пластина, поставленная поперек потока), тогда положение точек отрыва определено и не зависит от числа Re (в данном случае это кромка пластины. Для таких тел сопротивление слабо зависит или вообще не зависит от числа Re и кризиса сопротивления не наблюдается. В частности, для пластины, поставленной поперек потока, коэффициент сопротивления в диапазоне чисел Re от 4·10³ до 1·10⁶ не изменяется и равен 1,1.

ВЫВОДЫ.

1. Отрыв пограничного слоя обусловлен совместным действием положительного градиента давления и пристенного трения. При отсутствии хотя бы одного из этих факторов отрыва пограничного слоя не происходит.

2. При обтекании тел с отрывом, результирующая сил давления жидкости, действующая на обтекаемое тело, имеет составляющую в направлении течения (результирующая сила давления жидкости на той части поверхности, тела, где жидкость движется вдоль направления набегающего на тело потока больше результирующей силы давления, действующей на тело со стороны жидкости в области возвратного течения). Эта составляющая называется сопротивлением давления.

3. Полное сопротивление обтекаемого тела складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. У хорошо обтекаемого тела зона отрыва пограничного слоя незначительна и поэтому преобладает сопротивление трения. У плохо обтекаемого тела зона отрыва пограничного слоя обширна, и потому главной составляющей сопротивления тела будет сопротивление давления.

Отрыв пограничного слоя приводит к резкому увеличению гидравлического сопротивления (увеличению гидравлических потерь). Поэтому целесообразно принимать меры к перемещению точки отрыва вниз по потоку для уменьшения области отрывного течения на обтекаемой поверхности.

Ввиду этого главное внимание при обтекании тела дозвуковым потоком надо обратить на выбор очертания кормовой части тела, где происходит повышение давления. Выполняя кормовую часть вытянутой, можно снизить величину положительного градиента давления и не допустить отрыва пограничного слоя вплоть до выходной кромки. Головную часть тела лучше выполнять скругленной, так как это предотвращает образование областей пониженного давления и последующих диффузорных участков при изменении угла натекания потока. В тех случаях, когда это возможно, лучше иметь на поверхности ламинарный пограничный слой, чем турбулентный, так как при этом сопротивление трения будет меньшим.

Для затягивания точки перехода ламинарного слоя в турбулентный вниз по потоку необходимо иметь гладкую поверхность, уменьшить пульсацию внешнего потока, а также избегать больших положительных градиентов давления. Последнего можно добиться, уменьшая максимальную толщину тела. Вместе с тем поддержание ламинарного пограничного слоя часто невозможно из-за пульсаций внешнего потока (например, в турбомашинах), да и нежелательно, так как ламинарный слой легче отрывается. Наличие турбулентного слоя на лопатках турбомашин, хотя и приводит к некоторому увеличению сопротивления трения, но позволяет выполнять лопатки сильно изогнутыми и поворачивать поток на большой угол без отрыва. Поверхность тела при турбулентном слое должна выполняться столь гладкой, чтобы бугорки шероховатости не вызывали нарушения вязкого подслоя и не привели к увеличению сопротивления трения. При отсутствии отрыва распределение давления по поверхности обтекаемого тела может быть найдено расчетом потенциального потока. Это позволяет применять модель идеаль­ной жидкости для построения хорошо обтекаемых тел.

Контрольные вопросы

1. Проделать вывод формулы (5.51а).

2. Как изменяется скорость дозвукового (сверхзвукового) потока при подводе (отводе) механической работы?

3. Как изменяется статическое давление при механическом воздействии на газовый поток?

4. Как изменяется поток полного импульса при подводе механической работы к дозвуковому (сверхзвуковому) потоку? Указание. Использовать значения газодинамической функции в характерных точках.

5. Какой из рассмотренных видов воздействия на газовый поток необратим (не может изменить свой знак для перевода потока через скорость звука)?

6. Изобразите канал, в котором дозвуковой (сверхзвуковой) поток переводится в сверхзвуковой (дозвуковой) только за счет теплового (механического) воздействия.

7. Укажите условия, при которых возможно уменьшение толщины пограничного слоя на обтекаемой поверхности.

8. Укажите условия отрыва потока от обтекаемой поверхности.

9. Нарисуйте канал, в котором возможен отрыв потока несжимаемой жидкости.

10. Придумайте мероприятия для перемещения точки отрыва пограничного слоя вниз по потоку.

Дата добавления: 2014-01-11