Геометрическое подобие

Подобия явлений

Основные положения теории

Далеко не всегда можно изучать протекающие процессы в естественных условиях. В таких случаях прибегают к изучению процесса на другом объекте, меньшем по размерам, более удобном для проведения экспериментов, но в котором процесс протекает так же, как и в естественных условиях. Для того чтобы выяснить возможность такой замены процессов и правомочность перенесения результатов экспериментов на натуральные условия (объект), необходимо установить подобие процессов в модельном и натуральном объектах.

Две геометрические системы подобны, если все пространственные координаты одной системы пропорциональны пространственным координатам другой системы. Расположим две декартовы системы координат друг относительно друга таким образом, что одноименные оси будут параллельными. В начало каждой системы координат поместим одноименные крайние точки геометрически подобных систем. Большую по размерам систему будем равномерно сжимать по всем осям координат (или равномерно растягивать меньшую). В результате таких деформаций наступит момент, когда одна система окажется равной другой.

Взаимное расположение координатных осей двух декартовых осей и взаимное расположение в них геометрических систем, которое они получили в вышеописанном эксперименте после занятия равновесных положений, называются сходственными.

Очевидно, что если геометрические системы подобны, то в каждой из них можно найти множество таких точек, что при деформации одной системы координаты ее точек будут равны координат точек другой системы. Такие точки в подобных системах называются сходственными. Если в двух подобных системах выбрать по две сходственные точки и соединить их прямыми линиями, то эти отрезки тоже будут сходственными. Такие отрезки называют еще сходственными линейными размерами.

Таким образом, для геометрически подобных систем можно записать

, (1)

где x ₁, y ₁, z ₁, x ₂, y ₂, z ₂ - сходственные координаты первой и второй системы; l ₁₁, l ₁₂,..., l _{1 i}, l ₂₁,..., l _{2 i} - сходственные отрезки (параметры) геометрически подобных систем (первый индекс обозначает номер сопоставляемых систем, второй - номер сопоставляемого параметра); m_l - коэффициент подобия, показывающий во сколько раз надо изменить все размеры одной системы, чтобы она оказалась равной второй.

Очевидно, что коэффициент подобия будут одним и тем же только для данной конкретной пары подобных систем.

Равенство (1) позволяет записать целый ряд пропорций типа

. (2)

Переставляя члены пропорций, получим

. (3)

Отсюда следует, что в подобных системах отношения величин (координат и отрезков), имеющих одинаковую размерность и принадлежащих одной и той же системе, должны быть аналогичны отношениям для другой системы. Эти отношения будут одинаковыми не только для какой-либо одной пары подобных систем, а для всех подобных систем, независимо от того, какие между ними существуют коэффициенты подобия. Отношения типа (3), постоянные для всех подобных систем, называются инвариантами подобия. Свойство инвариантности отношений обозначается символами inv (инвариант) или idem (то же самое).

Еще раз подчеркнем коренное отличие понятия “коэффициента подобия” от “инварианта подобия”. Коэффициент подобия сохраняет постоянное значение для всех сходственных точек двух подобных систем, но становится другим для другой пары подобных систем. Инвариант подобия, наоборот, различен для разных точек системы, но не меняется при переходе от одной системы к любой другой ей подобной, т.е. он сохраняет одно и то же значение в сходственных точках всей группы подобных систем.

Дата добавления: 2014-01-11