Принцип максимума для оптимальности по быстродействию

В этом случае минимизированный функционал имеет вид т.е. подынтегральная функция равна 1

Запишем гамильтониан (9) с учетом (12)

В отличие от общего случая будем теперь рассматривать мерный вектор

мерный гамильтониан

, тогда

Тогда систему уравнений объекта (3) и сопряженную систему

Запишем в виде

уравнения Гамильтона

Обозначим

Если точная верхняя грань достигается, то

Очевидно, что для рассматриваемого случая

т.к.

и

С учетом принятых обозначений основная теорема принципа максимума для оптимальности по быстродействию формируется следующим образом.

Пусть - некоторое допустимое управление, переводящее изображающую точку из состояния в состояние , а - соответствующая этому управлению траектория.

Для оптимальности по быстродействию управления и траектории необходимо существование такой нулевой непрерывной вектор - функции , удовлетворяющие системе уравнений (15), что

1) для всех функция достигает по максимума

2) В конечный момент времени выполняется соотношение

Как в общем случае, если функции удовлетворяют (15) и условию (17), то функция - постоянна. Поэтому проверку условия (18) можно производить с любой момент времени .

Замечание. т.к. для большинства случалось , то из (11) и (16) следует, что вдоль оптимальной траектории

Для численных методов расчета оптимальных по быстродействию систем методом Понтрягина надо принимать для оптимального гамильтониана это значение.

Рассмотрим решение задачи на быстродействие аналитическим методом.

Пример.

Объект представляет собой два последовательно соединенных интегрирующих звена.

Требуется найти оптимальное управление и уравнение регулятора , чтобы система была оптимальной по быстродействию при переходе её из произвольного начального состояния в равновесное . При этом уравнение «» наложено ограничение

Решение.

Обозначив , , приведем уравнение (20) к исходному виду

Тогда гамильтониан согласно (14) имеет вид

Согласно теореме Понтрягина надо найти или гамильтониана по управлению . Поскольку первое слагаемое (22) не зависит от , то илипо управлению достигается одновременно с и второго слагаемого . Причем в силу линейной связи и или по достигается при максимальном значении . Для того, чтобы согласно теореме Понтрягина или т.е. , знак у был бы одинаковым со знаком . Для определения воспользуемся (15).

т.к.

Откуда

Отсюда, согласно ПМ для оптимальных по быстродействию систем

т.е.

, т.е. в зависимости от знака .

Поскольку линейная функция не более одного раза меняет знак, то в оптимальном процессе регулирования будет не более одного переключения с на или наоборот, т.е. оптимальное управление является не гладкой, а кусочно-постоянной функцией, у которой не более двух интервалов постоянства.

Следовательно, оптимальная по быстродействию система будут релейной, но необычной релейной, а особым специальным законом переключения реле по закону вспомогательной функции . Чтобы переставить всё это нагляднее, изобразим процесс на фазовой плоскости. Исключив из уравнения (21) время получим при дифференциальное уравнение оттуда фазовая характеристика будет

(23)

Аналогично при получаем

(24)

Это параболы симметричные относительно оси абсцисс . Процесс должен заканчиваться в начале координат . Поэтому сначала изобразим фазовые траектории (параболы), вливающиеся в начало координат (т.е. при ) соответственно при и при (изображение сплошными линиями и и части парабол).

Нанесем теперь и все остальные параболы с различными значениями и в формулах (23) и (24) до точек их вшивания в изображенные ранее две ветви парабол и . Как видим из произвольной точки процесс идет по некоторой параболе при управляющем сигнале (в нижней области было бы ). В точке происходит переключение на сигнал , после чего процесс идет по параболе и заканчивается в точке «» за конечное время, которое согласно ПМ является минимальным из всех возможных для перехода данной системы из состояния в равновесное состояние 0(0,0).

Точка переключения реле может находиться в любом месте кривой . последняя называется, поэтому Линней переключения. На ней лежат заключительные обрезки фазовых траекторий, проходящих в начало координат.

Итак, искомое уравнение преобразовательной части системы оптимальной по быстродействию будет

причем откладывается по оси абсцисс. Замечая, что , из формул (23) и (24) для и (т.е. ) находим уравнение линии переключения

И, следовательно, уравнение преобразовательной части системы будет

Тогда оптимальная по быстродействию САУ будет выглядеть следующим образом

Т.о., в системе должны быть два измерения (для и для ). В управляющем устройстве должно автоматически вычисляться переключающее значение по формуле (25) и на основе сравнения фактического текущего значения со значением , зависящем от текущего , должно производиться включение и выключение переключающего реле в соответствии с (26).

Это является специальным нелинейным законом управления для линейного объекта (20), приводящим к оптимальной по быстродействию системе. Таков результат простой 6 типовой задачи.

Решение по ПМ достаточно сложно даже для простейших случаев. Часто аналитическое решение не может быть получено, особенно при сложных ограничениях на и . В этом случае ищут приближенное решение кроме того, необходимо помнить, что ПМ дает только необходимое условие функционала. Отметим, что при численном расчете не исключен случай потери некоторых , в том числе и глобальных.

Дата добавления: 2014-01-11