Гранные поверхности и многогранники

Классификация поверхностей

Образование и задание поверхностей

Лекция № 7. ПОВЕРХНОСТИ

План лекции

1.Образование и задание поверхностей.

2. Классификация поверхностей.

3. Гранные поверхности и многогранники.

4. Проецирование многогранников. Точка и линия на поверхности многогранников.

5. Кривые поверхности.

6. Проецирование поверхностей вращения. Точка и линия на поверхности вращения.

В математике под поверхностью подразумевают непрерывное множество точек, связанных функциональной зависимостью F(x, y, z) = 0, где x, y, z - координаты, а функция F(x, y, z) - многочлен n-го порядка. Такой способ задания поверхности называется аналитическим. В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений движущейся линии. Такой способ называется кинематическим. Линия, которая образует поверхность, называется образующей. Линия (неподвижная), по которой перемещается (скользит) образующая, называется направляющей (рис. 7.1).

Образующая может быть прямой линией, кривой, постоянного и переменного вида. Образующая и направляющая могут меняться ролями (например, образование цилиндрической поверхности) (рис. 7.2). Частный случай поверхности – плоскость (рис. 7.1).

Рис. 7.1

m, n–направляющие l – образующая

Рис. 7.2

1. Коническая 2. Цилиндрическая

поверхность поверхность

m - направляющая m – направляющая

l – образующая l – образующая

Одна направляющая т. S - находится в ¥

превратилась в т. S

Совокупность геометрических элементов, определяющих поверхность, называется определителем поверхности (Ф) и состоит из двух частей: геометрической (Г) и алгебраической [А], т. е. Ф (Г) [А].

(Г) - часть определителя, в которой перечисляются все геометрические элементы, образующие поверхность.

[А]- часть определителя, в которой устанавливается связь между геометрическими элементами – взаимоположение, условия перемещения и т. д.

Например, для конической поверхности определитель имеет вид: Ф (l, m, S) [l∩m Ù lÎ S].

В зависимости от вида образующей все поверхности можно подразделить на две группы:

· Линейчатые - образующей которых является прямая линия.

· Нелинейчатые - поверхности с криволинейной образующей.

Линейчатые поверхности подразделяются на:

· Развертываемые - это такие поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрыва и складок.

· Неразвертываемые (невозможно совместить).

Линейчатые поверхности можно разделить на 3 класса, в зависимости от количества направляющих.

1. Поверхности с одной направляющей:

а) коническая;

б) цилиндрическая;

в) поверхность с ребром возврата;

г) пирамидальная;

д) призматическая.

2. Поверхности с двумя направляющими:

а) прямой коноид (рис. 7.3, г);

б) прямой цилиндроид (рис. 7.3, д);

в) гиперболический параболоид (косая плоскость) (рис. 7.3, а).

3. Поверхности с тремя направляющими:

а) косой цилиндроид (поверхность общего вида) (рис. 7.3, в);

б) дважды косой цилиндроид (рис. 7.3, е);

в) дважды косой коноид (рис. 7.3, ж);

г) однополостный гиперболоид (рис. 7.3, б).

Рис. 7.3

Гранные поверхности - это поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии. Примером могут служить:

Ф(l, m, S) [l ∩ m Ù lÎ S] Ф(l, m, S) [l ∩ m Ù l | | S]

Рис. 7.4

Элементы конической поверхности: m - направляющая (ломаная); l - образующая (прямая); S - вершина; ABS - грань (часть плоскости); SA, SB- ребра (линии пересечения смежных граней).

Часть пространства, ограниченное со всех сторон поверхностью, называется телом.

Многогранники - это замкнутые поверхности, образованные некоторым количеством граней.

1. Пирамида – многогранник, у которого одна грань, принимаемая за основание, является произвольным многоугольником, а остальные грани (боковые)- треугольниками с общей точкой, называемой вершиной.

В зависимости от количества вершин у многоугольника основания различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. пирамиды.

2. Призма - многогранник, у которого две грани-основания одинаковые и взаимопараллельные многоугольники, а остальные грани параллелограммы. В зависимости от числа вершин у многоугольника основания призмы, так же как и пирамиды, называют трехгранными, четырехгранными и т. д.

Призма называется прямой, если ее ребра ^ к плоскости основания, и наклонной, если не перпендикулярны. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой, называется кубом.

Дата добавления: 2014-01-11