Развертка поверхности

Разверткой поверхности геометрического тела называется фигура, полученная совмещением поверхности этого тела с плоскостью чертежа.

Построение разверток таких поверхностей, как прямая призма, прямой круговой цилиндр, пирамида, прямой круговой конус, выполняется без применения специальных приемов. Из рисунка 115 видно, что развертка поверхности прямой трехгранной призмы состоит из трех прямоугольников – боковых граней призмы и двух треугольников – оснований призмы.

Рисунок 115

Развертка поверхности прямого кругового цилиндра (рисунок 116) представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина – длине окружности основания цилиндра, и две окружности, равные окружности оснований цилиндра.

Рисунок 116

Развертка поверхности трехгранной пирамиды (рисунок 117) состоит из трех треугольников – боковых граней и одного треугольника – основания пирамиды.

Рисунок 117

Истинные величины ребер пирамиды найдены способом вращения. Вращение выполнялось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций П₁ и проходящей через вершину пирамиды – точку S.

Развертка поверхности прямого кругового конуса (рисунок 118) представляет собой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а дуга - длине окружности основания конуса, и окружность, равную окружности основания конуса.

Рисунок 118

Для построения разверток поверхностей всех этих тел необходимо знать только истинные величины их ребер, высот, образующих и т.д.

Для построения развертки боковой поверхности наклонной призмы, можно применить один из способов:

1) способ треугольников;

2) способ построения нормального сечения;

3) способ раскатки.

Способ треугольников состоит в том, что каждая грань призмы диагональю разбивается на два треугольника. Определяются истинные величины всех сторон треугольников, которые последовательно в истинную величину вычерчиваются на свободном поле чертежа. На рисунке 119 этот способ применен для построения развертки боковой поверхности трехгранной наклонной призмы.

Рисунок 119

Грань АВВ^/А^/ диагональю АВ^/ разделена на два треугольника.

Для построения истинной величины треугольника АА^/В^/ надо определить истинную величину только одной его стороны - стороны АВ^/, так как в данном примере две другие стороны треугольника расположены относительно плоскостей проекций так, что одна из их проекций является истинной величиной: истинная величина стороны А^/В^/ - ее горизонтальная проекция А₁В₁, стороны АА^/ - фронтальная проекция А₂А₂^/.

Истинная величина стороны АВ^/ на рисунке 118 определена вращением ее вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций П₂ и проходящей через точку А. Затем к построенному в натуральную величину по трем сторонам треугольнику АА^/В^/ пристроен треугольник АВВ^/, истинные величины всех сторон которого уже известны. Далее следует диагональю разделить на два треугольника вторую грань призмы, определить истинные величины всех сторон этих треугольников и построить их в натуральную величину к первым двум, затем разделить на два треугольника следующую грань призмы и т. д.

На рисунке 120 развертка боковой поверхности трехгранной наклонной призмы построена способом нормального сечения. Последовательность построений следующая:

Рисунок 120

1) призма рассекается нормальной плоскостью (перпендикулярной к ее ребрам или граням). В приведенном примере нормальной плоскостью является фронтально проецирующая плоскость Р;

2) строятся проекции нормального сечения призмы плоскостью Р и определяется истинная величина его фигуры. Фронтальная проекция фигуры нормального сечения (1₂2₂3₂) совпадает со следом секущей плоскости, а горизонтальная проекция определяется по принадлежности точек ребрам призмы. Истинная величина фигуры сечения (1₀2₀3₀) построена способом совмещения – плоскость Р вращением вокруг ее горизонтального следа совмещена с плоскостью проекций П₁;

3) истинная величина фигуры нормального сечения (1₀2₀3₀) разворачивается в прямую линию (1-1) на свободном поле чертежа и от точек 1, 2, 3, 1 проводятся перпендикуляры к прямой 1-1;

4) на перпендикулярах по обе стороны от точек 1, 2, 3, 1 откладываются истинные величины соответствующих ребер призмы и полученные точки А, В, С, А и А^/, В^/, С^/, А^/ соединяются отрезками прямых. В рассматриваемом примере ребра призмы параллельны плоскости проекций П₂, а следовательно, истинными величинами их являются соответствующие фронтальные проекции.

Способ раскатки применяется тогда, когда ребра призмы параллельны одной из плоскостей проекций, например плоскости проекций П₂ (рисунок 121). При этих условиях каждую грань призмы последовательно поворачивают вокруг одного из ребер, как вокруг фронтали, до положения, параллельного плоскости проекций П₂; все грани призмы проецируются на плоскость проекций П₂ в натуральную величину. Построения выполняются так. Из фронтальных проекций точек А₂, В₂, С₂, А^/₂, В^/₂, С^/₂ проводятся перпендикуляры к ребрам призмы.

Рисунок 121

В данном примере раскатка боковой поверхности призмы начата с грани АВВ^/А^/. Чтобы повернуть ее вокруг ребра АА^/ до положения, параллельного плоскости проекций П₂, из точек А₂ и А₂^/ на перпендикулярах, выходящих из точек В₂ и В₂^/, сделаны засечки раствором циркуля, равным истинной величине стороны АВ (А^/В^/) основания призмы (истинной величиной стороны АВ основания призмы является ее горизонтальная проекция А₁В₁). Параллелограмм А₂В₀В₀^/ А₂^/ есть истинная величина грани АВВ^/А^/. Затем из точек В₀ и В₀^/ раствором циркуля, равным истинной величине стороны ВС (В^/С^/) основания призмы, сделаны засечки на перпендикулярах, выходящих из точек С₂ и С₂^/. Параллелограмм В₀С₀С₀^/В₀^/ - истинная величина грани ВВ^/С^/С призмы. Истинная величина грани СС^/А^/А построена аналогично. Фигура А₂В₀ С₀А₀А₀^/С₀^/В₀^/А₂^/ - развертка боковой поверхности призмы.

Во всех приведенных примерах ребра призмы занимали частные положения относительно плоскостей проекций – они были параллельны плоскости проекций П₂, а основания призмы – плоскости проекций П₁. Поэтому решение задач при построении развертки боковой поверхности призмы упрощалось. При построении разверток поверхностей призм, ребра которых занимают общие положения относительно плоскостей проекций, нужно, применив способ замены плоскостей проекций, преобразовать чертеж так чтобы ребра призмы заняли частные положения, а затем выполнить построения, аналогичные одному из описанных выше способов.

Чтобы построить развертку полной поверхности призмы, надо к построенной развертке боковой поверхности ее пристроить истинные величины оснований.

Дата добавления: 2014-01-11