Методические указания к занятию № 2

Сводная таблица параметров поступательного и вращательного движения.

Момент импульса вращающегося тела (точки). Закон сохранения момента импульса.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения.

Кинетическая энергия вращательного движения.

Момент инерции тела, теорема Штейнера.

1. При поступательном движении как быстро тело поменяет свою скорость под действием определенной силы, зависит от его массы, т.е. масса является мерой инертности поступательно движущегося тела. При вращательном движении быстрота изменения скорости зависит не только от массы, но и от радиуса вращения. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменит его . J различных тел зависит от распределения массы относительно оси.

Моментом инерции мат. (.) относительно данной оси вращения называется скалярная величина равная произведению массы точки m_i на квадрат расстояния до оси R_i ….(6.1)

Момент инерции тела относительно оси вращения – величина равная сумме моментов инерции всех точек тела. ….(6.2), [кг´м²]

Для тел произвольной формы расчет такой суммы сложен и их момент инерции определяется опытным путем.

J является мерой инертности вращающегося тела. Он играет такую же роль, что и масса при поступательном движении. Но, если масса величина постоянная, то J тела зависит от положения оси вращения.

J относительно произвольной оси не проходящий через центр масс можно вычислить по теореме Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции тела относительно оси проходящей через центр масс параллельно заданной оси и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями …(6.3)

Поскольку ma² – положительное число, то из теоремы Штейнера следует, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через ее центр масс.

1). J однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R (диска) относительно геометрической оси вращения равен …(6.4).

2). Толстостенного цилиндра (6.5)

R – радиус наружный

r – внутренний радиус.

3). Тонкий обруч или кольцо. (6.6)

4). J однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец J = ml²/3… (6.7),

где l – длина стержня.

5). J того же стержня относительно оси, проходящей через центр масс:

J = ml²/12… (6.8),

6). J шара (6.9)

2. Для вывода кинетической энергии твердого вращающегося тела рассмотрим самый простой вариант: систему состоящую из двух материальных точек. Пусть две мат. точки с массами m₁ и m₂ расположены на расстоянии L = const. Система вращается вокруг оси со скоростью w. Тогда линейная скорость первой точки V_l = r_lw, скорость второй V₂ = r₂w, где r_l и r₂ – расстояния от мат. точек до оси вращения. Кинетическая энергия мат. точек будет соответственно T_l = m₁V₁²/2 = m₁r_l²w²/2 и T₂ = m₂V₂²/2 = m₂r₂²w²/2. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий мат. точек, из которых эта система состоит:

T = T _l+T₂ = w²(m₁r_l²+ m₂r₂²)/2.

Сумма в скопках есть момент инерции нашей системы, то есть T = Iw²/2 …(6.7)

Для случая плоского движения, например, цилиндр, скатывается по наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и вращательного. …(6.10)

3. Момент силы - векторная величина численно равная произведению силы на плечо … (6.11)

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Момент силы параллелен оси вращения и направлен вдоль нее так, что если буравчик вращать, так как вращается тело, то поступательное движение буравчика покажет направление момента силы. Момент силы характеризует ее способность вызывать вращение и изменять угловую скорость.

…(6.12) основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение. Или иначе:

4. Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых расположены на оси вращения. Все эти точки движутся с разными линейными скоростями, а одинаковой для них является угловая скорость. Все введенные ранее динамические характеристики, такие как импульс, сила, кинетическая энергии и т.п., нужно выразить через угловую скорость. Именно поэтому вводится ряд новых физических величин – момент силы, момент инерции и момент импульса.

Моментом импульса точки L_i относительно некоторой неподвижной оси называется величина равная произведению момента инерции точки I_i на угловую скорость ее движения w вокруг этой оси: Li = J_iw. …(6.13).

Для мат точки …. (6.14)

Момент импульса тела L относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех точек тела: … = Jw … (6.15)

где J – момент инерции тела относительно данной неподвижной оси

w - угловая скорость

С учетом этого основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

… (6.16) - момент силы равен быстроте изменения момента импульса. Это другая форма основного уравнения динамики вращаемого движения.

Для замкнутой системы

Момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная – закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

5. Сводная таблица параметров поступательного и вращательного движения.

поступательное	вращательное
масса	m, кг	момент инерции
скорость		угловая скорость
ускорение		угловое ускорен.
сила (осн. ур-ие)		момент силы (осн. ур.)
Импульс		момент импульса
работа		работа
кинетическая энергия		кинет. энергия

МЯГКИЕ ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ,

Дата добавления: 2014-01-11