Понятие функции нескольких переменных

Пусть , , – множество точек из , т.е. .

Если для каждой точки , существует единствен­ное число , то на (область определения) задана функция переменных , причем множество – множество значений функции.

При можно записывать ;
при соответст­венно, например, .

Для функции двух переменных область определения расположена на плоскости , . График функции двух переменных – множество точек –
подмножество и иногда может быть представлен поверхностью .

Для , область определения расположена в пространстве ; для представления графика функции трёх переменных требуется .

ПРИМЕР 1. Выразить объем цилиндра, радиус которого ,
высота , через эти переменные. Указать область определения функции.

Ответ. , область определения – часть плоскости :

ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения функции .

Ответ. Область определения: и (рис. 1).

ПРИМЕР 3. Построить схематично график функции на множестве :

Ответ. Часть плоскости , располо­женная над прямоугольни-
ком (рис. 2).

Для характеристики множеств , , рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.

Окрестностью радиуса точки является множество всех точек , удаленных от менее
чем на , т.е.

.

Заметим, что если , , то – согласуется с ранее рассмотренным понятием –окрестности точки на числовой оси.

Если , то , , и есть множество всех точек круга (без границы) или .

Если , то , , и есть множество всех точек шара (без границы) или.

Пусть – множество точек из , т.е. .

Точка – внутренняя точка множества , если существует окрестность , содержащаяся во множестве , т.е.

.

Множество – открытое в , если каждая его точка является внутренней точкой множества .

Например, каждая точка интервала является внутренней, если , поскольку каждая точка
интервала принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал – открытое в множество точек . Множество не является открытым в , так как его точка не является внутренней.

Точка – граничная точка множества , если в любой ее
окрестности существует точка из множества и существует точка , не принадлежащая множеству .

Множество всех граничных точек множества образует границу множества и обозначается .

Например, точки и – граничные для интервала , .

Окрестность с присоединенной границей иногда называют " замкнутым шаром " и обозначают , т.е.

.

Множество – ограниченное в , если

.

Множество – связное в , если всякие его две точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей только из точек множества .

Всякое ограниченное связное открытое множество – область; область вместе со своей границей – замкнутая область.

Точка , называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности существует точка ,
отличная от и принадлежащая множеству .

Множество , , называется замкнутым в , если оно содержит все свои предельные точки.

Например, – замкнутое в множество, – не является замкнутым в множеством, поскольку – предельная точка множества , но .

Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.

Точка , называется изолированной точкой множества , если можно указать окрестность этой точки такую, что в ней нет других точек из множества , т.е.

.

Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например множество в , а также можно указать множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество в .

Дата добавления: 2014-01-13