Средняя квадратическая погрешность

Принцип арифметической средины

Свойства случайных погрешностей измерений

Случайной погрешностью Δ называют разность между измеренным значением l величины и ее истинным значением X, т.е.

Δ = l - X

Приняв это условие, основные свойства случайных погрешностей можно сформулировать следующим образом:

· при определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;

· малые по абсолютной величине погрешности в данном ряду измерений появляются чаще больших;

· одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности в данном ряду измерений равновозможны;

· среднее арифметическое из всех случайных погрешностей данного ряда равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений п стремится к нулю, т.е.

При этом условие следует понимать в статистическом смысле, т.е. среднее арифметическое из случайных погрешностей при увеличении числа измерений п будет то уменьшаться, то возрастать, однако при неограниченном увеличении п оно в общем будет стремиться к нулю.

Рассмотрим только равноточные измерения. Пусть некоторая величина, истинное значение которой равно X, измерена п раз. При этом получены значения l1, l2, …, ln. На основании определения (___) имеем

Δ1 = l1 – X1;

Δ2 = l2 – X2;

………….

Δn = ln – Xn.

Суммируя левые и правые части, найдём

откуда

Учитывая условие (----), окончательно получаем

где x - среднее арифметическое.

Из этого выражения следует, что при бесконечно большом числе измерений средняя арифметическая величина будет равна истинному значению, а при конечном числе измерений она является вероятнейшим значением искомой величины.

Таким образом, за вероятнейшее значение измеряемой величины при равноточных наблюдениях следует принимать среднюю арифметическую величину из ряда результатов измерений; ее называют арифметической срединой.

При выборе критерия для оценки наблюдений необходимо пояснить, что на практике результат считается одинаково ошибочным, будет ли он больше истинного значения или меньше. Поэтому стараются установить такой критерий оценки точности наблюдений, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей и заметно отображал наибольшие из них. Таким требованиям удовлетворяет средняя квадратическая

погрешность:

(i = 1,2, …,n).

По этой формуле, которую называют формулой Гаусса, определяют среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений, когда известно истинное значение X измеряемой величины. В противном случае среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений определяют через отклонения от арифметрической средины δ по следующей формуле:

где δi=li-x.

Формулу () часто называют формулой Бесселя.

Для определения средней квадратической погрешности арифметической средины представим формулу () в следующем виде:

Так как величина погрешности i-го измерения характеризуется средней квадратической погрешностью mi то квадрат средней квадратической погрешности арифметической средины

Принимая во внимание, что наблюдения равноточны, можно положить, что

m1=m2=…=mn=m

Тогда М² = m²/n, откуда

Следовательно, средняя квадратическая погрешность арифметической средины в n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

Очень важно помнить, что m и M не безошибочны; их точность зависит от числа n измернеий. Установлено, что средние квадратические ошибки самих средних квадратических ошибок имеют такие значения:

Пример. В результате шести измерений длины линии на местности

получены данные, приведенные в табл. …..

По формуле имеем x = 56,24 м. Затем составляем разности δ между каждым из измерений и арифметической срединой, возводим их в квадрат и суммируем. По формулам () и () получаем

Дата добавления: 2014-01-11