Критерии коллинеарности и компланарности

Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде произведения другого вектора на число, т.е., чтобы существовало число такое, что , или существовало бы число такое, что . При этом, если один из векторов ненулевой, то второй можно через него выразить.

► Достаточность. Дано: . Тогдасогласно определению произведения вектора на число.

Необходимость. Дано: . Рассмотрим два случая:

1. Один из векторов нулевой, например, . Тогда , т.е. .

2. Оба вектора ненулевые. Положим

.

Тогда . Кроме того,

(рис. 1.10); (рис. 1.11).

Рис. 1.10 Рис.1. 11

Таким образом, векторы и имеют одинаковые длину и направление, значит, они совпадают.

Теорема 2 (критерий компланарности). Для того чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других. При этом если два из векторов неколлинеарные, то третий можно через них выразить.

► Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации двух других, например . Возможны два случая.

а) – компланарны}.

б) Векторы и неколлинеарные. Доказательство вытекает из того, что треугольник – плоская фигура (см. рис. 1.12).

Необходимость. Дано: – компланарны.

а) ;

б) и – неколлинеарные. Отложим все три вектора от одной точки О (см. рис 1.13) и проведем Тогда:

, (1)

, (2)

, (3)

Из (1), (2), (3) вытекает, что .◄

Дата добавления: 2014-01-13