Аффинная система координат

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Теорема. Если на прямой задан базис , то для любого вектора на этой прямой существует число , такое, что .

Доказательство вытекает из теоремы 1 §1.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов, принадлежащих этой плоскости.

Теорема. Если на плоскости задан базис , то для любого вектора на этой плоскости существует упорядоченная пара чисел , такая, что .

Доказательство вытекает из теоремы 2 §1.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема. Если в пространстве задан базис

, (1)

то для любого вектора существует упорядоченная тройка чисел такая, что

. (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по базису (1), а коэффициенты разложения – координатами вектора в базисе (1).

►Выберем в пространстве некоторую точку О и отложим все векторы от этой точки. Обозначим плоскость, проходящую через точку О параллельно векторам и . Через конец вектора (точку М) проведем прямую, параллельную вектору , а точку пересечения ее с плоскостью обозначим (рис. 1.14). Тогда

, (3)

– компланарны, и – неколлинеарны} [Т-2 §1]

, (4)

{} [Т-1 §1] . (5)

Теперь равенство (2) вытекает из (3), (4), и (5).◄

Дата добавления: 2014-01-13