Тема 7. Корреляционно-регрессионный анализ

Тема 6. Статистические методы проверки гипотез

1. Понятие корреляционной зависимости. Виды связей.

2. Этапы (порядок) изучения корреляционной зависимости. Теорема разложения дисперсии. Показатели тесноты связи: коэффициент детерминации, корреляционное отношение, коэффициент корреляции.

3. Выявление аналитической связи между признаками на основе метода наименьших квадратов (построение линейного уравнения регрессии).

4. Множественная корреляция.

1. Понятие корреляционной зависимости. Виды связей.

Различают два типа связей между различными явлениями и их признаками: функциональную (жестко детерминированную) и корреляционную (статистическую). При функциональной связи изменение признака-результата полностью обусловлено изменением признака-фактора. При корреляционной связи изменение признака-результата обусловлено влиянием признака-фактора не полностью, а лишь в некоторой мере, так как существует еще влияние других причин, многие из которых неизвестны. Особенно это относится к взаимосвязям между социально-экономическими явлениями. Характерной особенностью корреляционной взаимосвязи является то, что она проявляется лишь на совокупности в целом и может не выполняться для отдельных ее элементов. Поэтому корреляционные зависимости изучаются по эмпирическим данным, полученным при статистическом наблюдении, так как в них отражается совокупное действие всех причин и условий на изучаемый признак.

Если исследуется зависимость признака-результата от данного фактора, то такая корреляционная связь называется парной, если факторов много, то такая корреляционная связь называется множественной. Признак-результат обозначается «у», а признак-фактор – «х».

2. Этапы (порядок) изучения корреляционной зависимости.

Порядок изучения корреляционной зависимости может быть следующим: 1) на основе анализа имеющихся данных устанавливается, существует ли какая-либо зависимость между рассматриваемыми признаками; 2) устанавливается форма, характер зависимости и мера тесноты связи; 3) выявленная взаимосвязь описывается аналитической зависимостью.

На первом этапе анализ зависимости осуществляется на основе аналитической группировки. Ряд значений признака-фактора х¯ и относящихся к ним групповых средних признака-результата у¯ показывает характер зависимости, следовательно, в табличной форме можно выразить эмпирическую линию регрессии. Если в системе координат, где по оси (у) указываются значения признака-результата, а по оси (х) – значения признака-фактора, отметить групповые средние и соединить их прямолинейными отрезками, то полученная ломаная будет графически представлять ту же функцию. Эта линия называется эмпирической линией регрессии, которая отражает главную тенденцию рассматриваемой зависимости.

Для измерения тесноты связи применяется несколько показателей. При парной корреляции теснота связи измеряется прежде всего коэффициентом детерминации и корреляционным отношением, основанными на измерении вариации результирующего признака и ее составляющих. По теореме разложения дисперсии:

σ²_у= ε ²_у+δ²_у,

где σ²_у – полная дисперсия (вариация) признака-результата;

ε²_у – внутригрупповая дисперсия;

δ²_у – межгрупповая дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует ту часть общей дисперсии признака-результата, которая не зависит от изменения величины признака-фактора. Тем самым она отражает влияние неучтенных причин вариации признака-результата, то есть показывает степень неопределенности. В корреляционном анализе она называется остаточной дисперсией и определяется по формуле:

ε ²_у=∑σ²_iN_i/∑N_i, i=1,2,…I,

где σ²_у – дисперсия признака-результата в пределах отдельной группы по признаку-фактору; N_i – численность отдельной группы (i-^ой группы).

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть общей дисперсии признака-результата, которая объясняется влиянием рассматриваемого признака-фактора. Она определяется по формуле:

δ²_у=∑(у_к¯–у¯_общ)N_к/∑N_к,

где у_к¯–групповое среднее к-^ой группы. Межгрупповая дисперсия в корреляционном анализе называется объясненной дисперсией.

Коэффициент детерминации определяется как доля объясненной дисперсии в общей дисперсии признака-результата. Он показывает, какая часть общей вариации признака-результата у объясняется влиянием изучаемого фактора х:

ρ²=δ²/σ².

Корреляционное отношение определяется как отношение средних квадратичных отклонений:

ρ=δ/σ.

Максимально тесная связь – функциональная, когда каждое значение признака-результата у может быть однозначно определено значением х, при этом остаточная дисперсия равна нулю, а показатель корреляционного отношения равен 1. Если связь между признаками отсутствует, то объясненная дисперсия равна 0, а, следовательно, и коэффициент корреляционного отношения равен 0. Таким образом, чем ближе значение показателя ρ к единице, тем сильнее связь между признаками.

Качественная оценка связи между признаками может быть показана в таблице:

Корреляционное отношение (ρ)	Связь
	Отсутствует
0 – 0,2	Очень слабая
0,2 – 0,3	Слабая
0,3 – 0,5	Умеренная
0,5 – 0,7	Заметная
0,7 – 0,9	Тесная
0,9 – 0,99	Весьма тесная
	Функциональная

При линейной форме зависимости для измерения тесноты связи кроме корреляционного отношения используется также другой показатель, колторый называется коэффициентом корреляции. Он может быть исчислен по формуле:

r_ху=((хy)¯–x¯y¯)/σ_хσ_у

Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1. Отрицательные значения указывают на наличие обратной (убывающей) линейной зависимости, положительные – прямой (возрастающей) линейной зависимости. Если коэффициент корреляции равен нулю, то можно сделать вывод, что линейная связь отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-13