Ограниченность

Монотонность.

Четность и нечетность.

Основные свойства функций

Под основными свойствами функции у=f(x) будем понимать следующие шесть:

1) область определения D(f);

2) область значений E(f);

3) четность, нечетность;

4) монотонность;

5) ограниченность;

6) периодичность.

Орп. 1. Функция у=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция у=f(x) называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Поэтому для четной функции достаточно строить лишь правую половину графика (х ≥0); левая половина его (х ≤0) является зеркальным отражением правой относительно оси О у.

Чтобы построить график нечетной функции, достаточно изобразить правую половину его (х ≥0); левая половина графика (х ≤0) получается в результате поворота правой на 180°.

Опр. 2. Функция у=f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Более точно, функция у=f(x) называется строго возрастающей (строго убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство f(х₂)> f(х₁) (f(х₂)< f(х₁)).

Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными функциями.

Если последнее неравенство является нестрогим, то говорят о нестрогом возрастании (нестрогом убывании) функции или просто о возрастании (убывании) функции.

Опр. 3. Функция у=f (х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых двух значений х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку из неравенства х₂ > х₁ следует нестрогое неравенство f(х₂)≥ f(х₁) (f(х₂)≤ f(х₁))

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Опр. 4. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М >0, что | f(x) |< М для любого х X.

Дата добавления: 2014-01-13