Пусть на отрезке [ a, b ] (b > a) задана непрерывная функция y = f (x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x). Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x0 = a, x1 , x2 , …, xn -1 = a, xn = b на n частей [ x0 , x1], [ x1 , x2], …, [ xi -1, xi ], …, [ xn -1, xn ]; символом будем обозначать длину i -го отрезка: . На каждом из отрезков [ xi -1, xi ] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника Pi с основанием [ xi -1, xi ] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S ступ: . Sступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками Pi, i = 1,2,…, n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. Sступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между Sступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е. .
Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x0 , x1], [ x1 , x2], …, [ xi -1, xi ], …, [ xn -1, xn ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков[ xi -1, xi ] выберем произвольную точку и составим сумму . Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ xi -1, xi ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается . Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: . В этом определении предполагается, что b > a. Для других случаев примем, тоже по определению: Если b=a, то ; если b < a, то .
Теорема существования определённого интеграла. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема по этому отрезку. Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство. Требование непрерывности f (x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [ a, b ] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f (x) неограничена на [ a, b ], то она неограничена на каком-либо[ xi -1, xi ], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа). Геометрический смысл определённого интеграла. Если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление