КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейная зависимость векторов
Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства
следует, что . В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы . Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Следствие. Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора и линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинеарные векторы и линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например, линейно выражается через второй, т.е. , а это противоречит неколлинеарности и . Следовательно, и линейно независимы.
Пусть и неколлинеарные векторы, ‑ произвольный вектор компланарный векторам и . Отложим векторы и от одной точки , т.е. построим (Рис. 4.3).
Рис. 4.3
Из параллелограмма видно, что . Следовательно, любые три компланарных вектора и линейно зависимы. Любые три некомпланарных вектора и линейно независимы. Если предположить, что три некомпланарных вектора и линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через и , т.е. , а это говорит о том, что три вектора и лежат в одной плоскости, что противоречит условию. Три вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю. Пусть векторы и в некотором базисе имеют координаты , и соответственно. Тогда векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:
. Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что
. Если один из векторов, например, , является нулевым, то система окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.1) будет выполнено при . Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 388; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |