Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

1. , где
2. 

Покажем, что

Для простоты примем, что (см. Рис. 1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины и с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Рис. 1.

Площади треугольников , и сектора соотносятся следующим образом:

Отсюда , и после деления на , получим , а для обратных величин . Так как при последовательность , а, следовательно, , то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности , справедливо равенство .

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что , а . Тогда

,

.

Таким образом, , так как в каждом слагаемом множители вида имеют меньшую величину по сравнению с при одном и том же , а также выражение для имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

.

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел,

который обозначается (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Дата добавления: 2014-01-13