Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию , определенную на множестве . Пусть . Точка называется предельной или точкой сгущения множества , если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел , все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые в не входят.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения : если для любого найдется такое , что при .

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции , задаваемых для различных последовательностей , стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности , если существует предел соответствующих последовательностей , то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция , имеющая предел при , ограничена в некоторой окрестности точки . Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

q Если – есть постоянная функция, то ;

q Если существуют , и в некоторой окрестности точки функция ограничена, т.е. , тогда .

q Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

q Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;

q Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии).

q Если и существуют , и , то .

Дата добавления: 2014-01-13