Построение касательной к графику функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями . Графиком функции в системе координат является непрерывная кривая . Пусть ‑ внутренняя точка промежутка , ‑ значение функции в точке . Возьмем на кривой некоторую фиксированную точку . Если точка тоже принадлежит кривой, то прямая называется секущей. Если перемещать вдоль кривой так, чтобы стремилась к совпадению с , то секущая также будет менять свое положение в зависимости от положения . Предельное положение секущей (если оно существует) при называется касательной к кривой в точке .

Угловой коэффициент секущей равен

Величину называют приращением аргумента . Величину называют приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента. Поскольку точка фиксирована, то является функцией от , следовательно, и зависит только от .

Так как , равносильно , то угловой коэффициент касательной можно получить предельным переходом при (если этот предел существует), т.е.

, .

Предел относительного приращения называется производной функции . Производную функции в точке обозначают одним из символов:

и др.

Значение производной непрерывной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке .

Дата добавления: 2014-01-13