Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами. График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке вторая производная положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .

Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило. Если равна нулю или не существует и при переводе через точку меняет знак, то ‑ точка перегиба графика функции .

II правило. Если и , то является точкой перегиба графика функции .

Пример. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .

Вычислим вторую производную .

;

.

Точки и разбивают числовую прямую на три промежутка: . На промежутках вторая производная положительна, на промежутке ‑ отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на .

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим : . Поскольку и , то в точке и в точке график функции имеет перегиб.

Дата добавления: 2014-01-13